Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 17

Groupe symétrique et déterminants

65 exercices corrigés · 14   30   17   4

Le groupe symétrique

• Exercice 1 Décomposer en produit de cycles à supports disjoints, puis calculer la signature des permutations suivantes de mathfrak S_9: σ_1 = begin pmatrix 1 &…
• Exercice 2 Sans calculer leur décomposition en cycles à supports disjoints, déterminer la signature des permutations suivantes de mathfrak S_9: 1. (1 2)(1 2…
• Exercice 3 On considère la permutation de mathfrak S_7 σ = begin pmatrix 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 3 & 5 & 6 & 7 & 1 & 2 & 4 end pmatrix. 1. Décomposer σ en…
• Exercice 4 Soit n ≥ 4 et a, b, c, d quatre éléments deux à deux distincts de [ [1;n] ]. 1. Calculer la permutation (a b)(c d)(d a), et l'écrire comme un cycle.…
• Exercice 5 1. Calculer la signature de la permutation de mathfrak S_n begin pmatrix 1 & 2 & 3 & … & n - 1 & n n & 1 & 2 & … & n - 2 & n - 1 end pmatrix. 2.…
• Exercice 6 Soit n ≥ 5. On considère la permutation de mathfrak S_n σ = (1 2 3)(2 3 4)(3 4 5) … (n - 3 n - 2 n - 1)(n - 2 n - 1 n), produit des n - 2 cycles (k…
• Exercice 7 1. Soit σ ∈ mathfrak S_n une permutation différente de l'identité, dont la décomposition en cycles à supports disjoints fait apparaître des cycles…
• Exercice 8 Soit σ ∈ mathfrak S_n. 1. Soit a ≠ b dans [ [1;n] ]. Calculer σ(a b)σ^(-1). 2. Plus généralement, pour un cycle (a_1 a_2 … a_p), montrer que σ(a_1…
• Exercice 9 Soit n ≥ 2. On dit qu'une famille de permutations engendre mathfrak S_n si toute permutation de mathfrak S_n est un produit d'éléments de cette…
• Exercice 10 Pour rho ∈ mathfrak S_n, on note Gamma _rho = σ ∈ mathfrak S_n mid rho σ = σrho l'ensemble des permutations qui commutent avec rho. 1. Montrer que…
• Exercice 11 On s'intéresse à l'équation f^2 = σ, d'inconnue f ∈ mathfrak S_n, où σ ∈ mathfrak S_n est donnée. 1. Soit c = (a_1 a_2 … a_p) un cycle de longueur p…
• Exercice 12 Soit n ≥ 2 et Phi: mathfrak S_n → ℂ^() un morphisme du groupe mathfrak S_n dans le groupe (ℂ^(), ×). 1. On suppose que Phi ((1 2)) = -1. Montrer que…
• Exercice 13 Construire un morphisme de groupes injectif de mathfrak S_n dans mathfrak A_(n + 2). On pourra associer à toute permutation σ de [ [1;n] ] la…
• Exercice 14 On considère l'ensemble A = Σ_(k = 1)^n k σ(k) | σ ∈ mathfrak S_n. 1. Soit σ ∈ mathfrak S_n, et i < j tels que σ(i) > σ(j). Comparer les sommes…
• Exercice 15 1. Soit γ et δ deux cycles de mathfrak S_n qui commutent. Montrer que leurs supports sont égaux ou disjoints. On pourra utiliser l'exercice 8 pour…
• Exercice 16 Soit n ≥ 2 et T un ensemble de transpositions de mathfrak S_n. On définit sur [ [1;n] ] la relation i ∼ j s'il existe une permutation σ, produit…
• Exercice 17 Soit n ≥ 3. On veut montrer que toute permutation paire est un produit de cycles de longueur 3. 1. Soit a, b, c, d des éléments deux à deux…

Formes $n$-linéaires alternées et déterminant d'une famille

• Exercice 18 Dans ℝ^3, on considère, pour t ∈ ℝ, les vecteurs e_1 = (1, 1, t), e_2 = (1, t, 1) et e_3 = (t, 1, 1). 1. Pour quelles valeurs de t la famille (e_1,…
• Exercice 19 Soit A ∈ M_n(K), de colonnes A_1, …, A_n, et S = A_1 + … + A_n. On note B la matrice dont la j -ième colonne est S - A_j, pour tout j ∈ [ [1;n] ].…
• Exercice 20 Soit E un K -espace vectoriel, (u_1, …, u_n) une famille libre de E, α_1, …, α_n ∈ K et s = Σ_(i = 1)^n α_iu_i. Donner une condition nécessaire et…
• Exercice 21 Soit z_0, …, z_n des nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille ((X - z_0)^n, (X - z_1)^n, …, (X - z_n)^n) est une base de…
• Exercice 22 Soit E un K -espace vectoriel de dimension n, e une base de E et u ∈ L(E). On définit φ: E^n → K par φ(x_1, …, x_n) = Σ_(k = 1)^n det _e (x_1, …,…
• Exercice 23 Soit I un intervalle de ℝ et f: I → ℝ. Pour x_1 < x_2 < x_3 dans I, on pose D(x_1, x_2, x_3) = begin vmatrix x_1 & f(x_1) & 1 x_2 & f(x_2) & 1 x_3 &…
• Exercice 24 Soit f_1, …, f_n des fonctions de ℝ dans ℝ. Montrer que la famille (f_1, …, f_n) est libre dans le ℝ -espace vectoriel des fonctions de ℝ dans ℝ si…

Déterminant d'un endomorphisme, d'une matrice carrée

• Exercice 25 On pose T = begin pmatrix 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 0 & -2 & 1 end pmatrix, A = begin pmatrix 1 & -10 & 11 -3 & 6 & 5 -6 & 12 & 8 end pmatrix, C = begin…
• Exercice 26 Soit A ∈ M_3(ℝ) telle que A^2 = 4A - 3I_3. On suppose que det (3A - 6I_3) > 0. Calculer det (3A - 6I_3). On pourra calculer (3A - 6I_3)^2.
• Exercice 27 Montrer qu'il existe une matrice M ∈ M_n(ℝ) telle que M^2 = -I_n si et seulement si n est pair. Le résultat subsiste-t-il dans M_n(ℂ) ?
• Exercice 28 1. Calculer le déterminant de l'endomorphisme u de ℝ_n[X] dans chacun des cas suivants: (a) u(P) = P + P', (b) u(P) = P(X + 1) - P(X), (c) u(P) =…
• Exercice 29 1. Montrer que l'application φ: P ↦ P(1 - X) est une symétrie de ℝ_n[X]. Calculer trφ et det φ. 2. Montrer que l'application psi: P ↦ X^nP (1/X) est…
• Exercice 30 Soit M ∈ M_n(K). Calculer le déterminant de chacun des endomorphismes suivants de M_n(K): A ↦ A^T, A ↦ MA, A ↦ AM. On pourra utiliser la base des…
• Exercice 31 Soit p un entier naturel non nul. 1. On suppose p < n. Soit A ∈ M_n,p(K) et B ∈ M_p,n(K). Montrer que det (AB) = 0. 2. On suppose n = 2 ≤ p. Soit A…
• Exercice 32 1. Existe-t-il une fonction f: ℝ^2 → ℝ telle que det (A + B) = f(det A, det B) pour toutes matrices A, B ∈ M_n(ℝ) ? On distinguera les cas n = 1 et…

Calcul des déterminants

• Exercice 33 Calculer les déterminants suivants, où a, b, c, d sont des réels: Δ_1 = begin vmatrix 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 end…
• Exercice 34 Les questions suivantes se traitent sans développer les déterminants. 1. Les entiers 546, 273 et 169 sont divisibles par 13. Montrer que begin…
• Exercice 35 Calculer les déterminants suivants, où a, b, c, d, a_1, …, a_n sont des nombres complexes, et donner les résultats sous forme factorisée: (i) begin…
• Exercice 36 Calculer le déterminant de chacune des matrices suivantes, et en déduire les valeurs du paramètre réel (x, a ou m) pour lesquelles elle est…
• Exercice 37 On calcule dans cet exercice des déterminants tridiagonaux d'ordre n, dont les seuls coefficients non nuls sont situés sur la diagonale et juste…
• Exercice 38 1. Soit s_1, …, s_n des réels. Calculer le déterminant de la matrice (s_(min (i, j)))_(1 ≤ i, j ≤ n), c'est-à-dire begin vmatrix s_1 & s_1 & s_1 & ……
• Exercice 39 Calculer les déterminants d'ordre n ≥ 2 suivants, où a, x, y, z sont des réels: begin vmatrix 1 & n & n & … & n n & 2 & n & … & n n & n & 3 & … & n…
• Exercice 40 Soit A = (a_ij) ∈ M_n(ℝ). Pour x ∈ ℝ, on note A(x) = A + xJ la matrice de coefficients a_ij + x. 1. Montrer que x ↦ det A(x) est une fonction…
• Exercice 41 Calculer les déterminants suivants, où binom k{ell } désigne un coefficient binomial, nul lorsque ell > k: 1. det (binom m + i{j})_(0 ≤ i, j ≤ p),…
• Exercice 42 1. Calculer det (i^j)_(1 ≤ i, j ≤ n). 2. Soit x_1, …, x_n des réels et P_0, …, P_(n - 1) des polynômes tels que P_k soit de degré k et de…
• Exercice 43 Soit A ∈ M_n(ℝ) dont tous les coefficients valent 1 ou -1. 1. Montrer que det A est un entier. 2. Montrer que det A est divisible par 2^(n - 1). On…
• Exercice 44 Soit a_0, …, a_(n - 1) des nombres complexes, et A ∈ M_n(ℂ) la matrice dont les coefficients situés juste au-dessous de la diagonale valent 1, dont…
• Exercice 45 Soit A, B, C, D ∈ M_n(K) et M = begin pmatrix A & B C & D end pmatrix ∈ M_2n(K). 1. On suppose A inversible. Montrer que det M = det (A)det (D -…
• Exercice 46 Soit A, B ∈ M_n(ℝ). 1. Montrer que t ↦ det (A + tB) est une fonction polynomiale de degré au plus rg B. On pourra écrire B = PJ_rQ avec P et Q…
• Exercice 47 Soit n ≥ 2, ω = e^(2 iπ/n), et a_0, …, a_(n - 1) des nombres complexes. On note A la matrice circulante dont la première ligne est (a_0, a_1, …,…
• Exercice 48 Déterminant de Cauchy. Soit a_1, …, a_n, b_1, …, b_n des réels tels que a_i + b_j ≠ 0 pour tous i, j. 1. Montrer que det (1/(a_i + b_j))_(1 ≤ i, j ≤…
• Exercice 49 Soit A ∈ M_n(ℝ) la matrice dont le coefficient d'indice (i, j) est le nombre de diviseurs positifs communs à i et à j. On note L ∈ M_n(ℝ) la matrice…

Comatrice et formules de Cramer

• Exercice 50 Soit f l'endomorphisme de ℝ^3 défini par f(x, y, z) = (y + z, -x + y + 3z, 6x - 7y - 5z). 1. Calculer det f. L'endomorphisme f est-il bijectif ? 2.…
• Exercice 51 Soit n ≥ 2 et A ∈ M_n(K). 1. Montrer que det (Com(A)) = (det A)^(n - 1). On traitera d'abord le cas où A est inversible. 2. Montrer que si rg A = n,…
• Exercice 52 Soit A ∈ GL_n(ℝ), B = A - J la matrice obtenue en retranchant 1 à tous les coefficients de A, et α la somme des coefficients de A^(-1). Montrer que…
• Exercice 53 Soit A, B ∈ M_n(ℤ), matrices à coefficients entiers, dont les déterminants sont des entiers premiers entre eux. Montrer qu'il existe deux matrices…
• Exercice 54 Soit n ≥ 2. 1. Montrer que, pour toutes matrices A, B ∈ GL_n(ℂ), on a Com(AB) = Com(A) Com(B). 2. Soit M ∈ M_n(ℂ). Montrer que t ↦ det (tI_n - M)…
• Exercice 55 Soit x_0, …, x_n des entiers relatifs deux à deux distincts. On note ℤ[X] l'ensemble des polynômes à coefficients entiers. 1. Pour P = Σ_(i = 0)^n…
• Exercice 56 Soit A, B ∈ M_2(ℤ). On suppose que, pour tout k ∈ [ [0;4] ], la matrice A + kB est inversible et que son inverse est à coefficients entiers. Montrer…

Exercices de synthèse

• Exercice 57 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. Sauf mention contraire, n ≥ 2 et les matrices sont carrées…
• Exercice 58 Le jeu de taquin. Un carré est partagé en neuf cases, numérotées de 1 à 9 ligne par ligne; huit d'entre elles portent des jetons numérotés de 1 à 8,…
• Exercice 59 On dispose de 2n + 1 cailloux. On suppose que, quel que soit le caillou que l'on retire, on peut répartir les 2n cailloux restants en deux tas de n…
• Exercice 60 Théorème de De Bruijn et Erdős (1948). On veut montrer que n ≥ 3 points du plan, non tous alignés, déterminent au moins n droites distinctes, une…
• Exercice 61 Soit A, B ∈ M_n(ℝ). On suppose qu'il existe P ∈ GL_n(ℂ) telle que B = PAP^(-1). On veut montrer qu'il existe Q ∈ GL_n(ℝ) telle que B = QAQ^(-1):…
• Exercice 62 Soit n ≥ 2. Existe-t-il une suite (tau _1, …, tau _(n! - 1)) de transpositions de mathfrak S_n telle que les n! permutations id, tau _1, tau _2tau…
• Exercice 63 Pour σ ∈ mathfrak S_n, on note ω(σ) le nombre d'orbites de σ, points fixes compris. Factoriser dans ℂ[X] le polynôme Σ_(σ ∈ mathfrak S_n) X^(ω(σ)).
• Exercice 64 Soit A = (a_ij) ∈ M_n(ℝ) vérifiant les trois conditions suivantes: • pour tout i ∈ [ [1;n] ], a_ii ≠ 0; • pour tous i ≠ j, si a_ij ≠ 0, alors a_ji =…
• Exercice 65 Soit A, B ∈ M_n(ℝ) telles que AB = BA et det (A + B) ≥ 0. Montrer que, pour tout entier p ≥ 1, det (A^p + B^p) ≥ 0.