Exercice 34

1. On remarque que $546$, $273$ et $169$ se lisent dans les colonnes. L'opération $L_{1} \leftarrow 100L_{1} + 10L_{2} + L_{3}$ multiplie le déterminant $D$ par $100$ (proposition 10 (i) et (ii)), et la nouvelle première ligne est $(546, 273, 169) = 13 \times (42, 21, 13)$. Par linéarité par rapport à cette ligne, $$100D = \begin{vmatrix} 546 & 273 & 169 \\ 4 & 7 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \end{vmatrix} = 13\begin{vmatrix} 42 & 21 & 13 \\ 4 & 7 & 6 \\ 6 & 3 & 9 \end{vmatrix},$$ et le dernier déterminant est un entier, par la formule du déterminant. Ainsi $13$ divise $100D$, et, comme $13$ est premier avec $100$, le lemme de Gauss (chapitre 12) montre que $13$ divise $D$. $$\boxed{13 \mid D}$$ On vérifie par la règle de Sarrus que $D = 195 = 13 \times 15$. ✓

2. L'opération $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{2} + L_{3}$ remplace la première ligne par $(1 + a + b + c)(1, 1, 1)$. On factorise, puis on effectue $C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}$ et $C_{3} \leftarrow C_{3} - C_{1}$ : $$\begin{vmatrix} 1 + a & a & a \\ b & 1 + b & b \\ c & c & 1 + c \end{vmatrix} = (1 + a + b + c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & 1 + b & b \\ c & c & 1 + c \end{vmatrix} = (1 + a + b + c)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b & 1 & 0 \\ c & 0 & 1 \end{vmatrix}.$$ La dernière matrice est triangulaire de diagonale $(1, 1, 1)$. $$\boxed{\begin{vmatrix} 1 + a & a & a \\ b & 1 + b & b \\ c & c & 1 + c \end{vmatrix} = 1 + a + b + c}$$

3. On passe de $A$ à $B$ en multipliant la ligne $i$ par $(-1)^{i}$ pour chaque $i$, puis la colonne $j$ par $(-1)^{j}$ pour chaque $j$. Par la proposition 10 (ii), le déterminant est multiplié par $$\prod_{i = 1}^{n}(-1)^{i} \times \prod_{j = 1}^{n}(-1)^{j} = \Big(\prod_{i = 1}^{n}(-1)^{i}\Big)^{2} = 1.$$ Autrement dit, $B = \Delta A\Delta$ avec $\Delta = \mathrm{diag}\big((-1)^{i}\big)$, et $\det B = (\det\Delta)^{2}\det A$. $$\boxed{\det B = \det A}$$