Exercice 33

Calcul de $\Delta_{1}$. Les opérations $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ et $L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{2}$ ne changent pas le déterminant (proposition 10 (i)) et laissent un seul coefficient non nul dans la première colonne, à la place $(2, 1)$, de signe $-$ sur le damier. On développe par rapport à cette colonne, puis le déterminant d'ordre $3$ par rapport à sa dernière colonne : $$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-1)\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1.$$

Calcul de $\Delta_{2}$. On effectue $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2}$, puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{3}$, puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{4}$ : chaque opération utilise une ligne qui n'a pas encore été modifiée. On développe ensuite par rapport à la première colonne, dont le seul coefficient non nul est en place $(4, 1)$, de signe $(-1)^{5} = -1$ : $$\Delta_{2} = \begin{vmatrix} 0 & b - a & c - b & d - c \\ 0 & 0 & a - b & b - c \\ 0 & 0 & 0 & a - b \\ a & a & a & a \end{vmatrix} = -a\begin{vmatrix} b - a & c - b & d - c \\ 0 & a - b & b - c \\ 0 & 0 & a - b \end{vmatrix} = -a(b - a)(a - b)^{2}.$$

$$\boxed{\Delta_{2} = a(a - b)^{3}}$$ Le résultat ne dépend ni de $c$ ni de $d$. Pour $b = a$, il est nul, ce que l'on voit directement : les deux premières colonnes sont alors égales à $(a, a, a, a)$. ✓