Exercice 35

(i) L'opération $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2}$ donne la ligne $(a + b + c)(1, 1, 1)$, proportionnelle à $L_{1}$ : la famille des lignes est liée. $$\boxed{\text{(i)} = 0}$$

(ii) L'opération $C_{1} \leftarrow C_{1} - aC_{2}$ donne la colonne $(1 - a^{2}, 0, 0)$, et l'on développe par rapport à elle : $$\begin{vmatrix} 1 - a^{2} & a & a^{2} \\ 0 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{vmatrix} = (1 - a^{2})(1 - a^{2}), \qquad \boxed{\text{(ii)} = (1 - a^{2})^{2} = (1 - a)^{2}(1 + a)^{2}}$$

(iii) Les opérations $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{4}$ et $C_{2} \leftarrow C_{2} + C_{3}$, puis $L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$, conduisent à une matrice triangulaire par blocs : $$\begin{vmatrix} a + b & 2c & c & b \\ 2c & a + b & b & c \\ 2c & a + b & a & c \\ a + b & 2c & c & a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a + b & 2c & c & b \\ 2c & a + b & b & c \\ 0 & 0 & a - b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a - b \end{vmatrix}.$$ La proposition 11 (ii) donne le produit de $(a - b)^{2}$ par $(a + b)^{2} - 4c^{2}$. $$\boxed{\text{(iii)} = (a - b)^{2}(a + b - 2c)(a + b + 2c)}$$

(iv) Pour tout nombre $x$, on a la relation $(x + 3)^{2} - 3(x + 2)^{2} + 3(x + 1)^{2} - x^{2} = 0$, qui se vérifie en développant : les termes en $x^{2}$, en $x$ et constants donnent $1 - 3 + 3 - 1 = 0$, $6 - 12 + 6 = 0$ et $9 - 12 + 3 = 0$. Appliquée à chaque colonne, elle donne $L_{4} - 3L_{3} + 3L_{2} - L_{1} = 0$ : les lignes sont liées. $$\boxed{\text{(iv)} = 0}$$ On peut aussi dire que les quatre lignes sont combinaisons linéaires des trois lignes $(a^{2}, b^{2}, c^{2}, d^{2})$, $(a, b, c, d)$ et $(1, 1, 1, 1)$.

(v) La matrice $\sum_{i}a_{i}E_{i, n + 1 - i}$ n'a de coefficients non nuls que sur la seconde diagonale : sa colonne $j$ contient $a_{n + 1 - j}$ en ligne $n + 1 - j$. Dans la formule du déterminant, seul le terme de la permutation $\rho : j \mapsto n + 1 - j$ est non nul, et le cours a calculé $\varepsilon(\rho) = (-1)^{n(n - 1)/2}$. $$\boxed{\text{(v)} = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$$

(vi) Pour $n \geqslant 3$, la deuxième ligne de la matrice est $(1, 0, \dots, 0)$, puisque $\min(2, j) = 2$ est pair dès que $j \geqslant 2$. On développe par rapport à cette ligne : le coefficient $1$ est en place $(2, 1)$, de signe $-$, et il reste le déterminant obtenu en supprimant la ligne $2$ et la colonne $1$. Dans celui-ci, la première colonne, issue de la colonne $2$ de $D_{n}$, est $(1, 0, \dots, 0)$, car $d_{i2} = 0$ pour $i \geqslant 2$. Un second développement laisse le déterminant des $d_{ij}$ pour $i, j \geqslant 3$. Or, pour $i, j \geqslant 3$, $\min(i, j)$ et $\min(i - 2, j - 2)$ ont la même parité : ce déterminant est $D_{n - 2}$. Ainsi $$D_{n} = -D_{n - 2} \quad (n \geqslant 3), \qquad D_{1} = 1, \qquad D_{2} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1.$$ On obtient $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}, \dots = 1, -1, -1, 1, \dots$, suite de période $4$, qui coïncide avec $(-1)^{n(n - 1)/2}$ pour $n = 1, 2, 3, 4$. Par récurrence, comme $\frac{n(n - 1)}{2} - \frac{(n - 2)(n - 3)}{2} = 2n - 3$ est impair, $$\boxed{D_{n} = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}}$$ En particulier, $D_{5} = 1$, ce que confirme un calcul direct.