Exercice 36

Première matrice. Les opérations $C_{3} \leftarrow C_{3} - C_{2}$, puis $C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}$, donnent deux colonnes égales à $(1, 1, 1)$. $$\boxed{\det = 0 : \text{la matrice n'est inversible pour aucune valeur de } x}$$

Deuxième matrice. On ajoute à la première colonne les trois autres, ce qui fait apparaître la colonne $(x + 3)(1, 1, 1, 1)$, puis, après factorisation, $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ pour $i = 2, 3, 4$ : $$\det = (x + 3)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x - 1 \end{vmatrix}, \qquad \boxed{\det = (x + 3)(x - 1)^{3}, \quad \text{inversible} \iff x \notin \{1, -3\}}$$

Troisième matrice. Chaque ligne a pour somme $a - 2$ : l'opération $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$ fait apparaître la colonne $(a - 2)(1, 1, 1, 1)$. On factorise, on effectue $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$ pour $i = 2, 3, 4$, et l'on développe par rapport à la première colonne, puis par rapport à la deuxième ligne : $$\det = (a - 2)\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & a + 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 1 & -1 & a + 1 \end{vmatrix} = (a - 2)\begin{vmatrix} a + 1 & -1 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ 1 & -1 & a + 1 \end{vmatrix} = (a - 2) \times a \times \big((a + 1)^{2} - 1\big).$$

Quatrième matrice. L'opération $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{4}$ donne la ligne $(0, -1, -m, m^{2} - m)$ ; la première colonne n'a plus qu'un coefficient non nul, en place $(4, 1)$, de signe $-$. On développe, puis on effectue $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{3}$ dans le déterminant d'ordre $3$, et l'on développe par rapport à sa première ligne : $$\det = -\begin{vmatrix} m & m & m^{2} - m \\ -1 & -m & m^{2} - m \\ m & m & 0 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 & m(m - 1) \\ -1 & -m & m(m - 1) \\ m & m & 0 \end{vmatrix},$$

$$\boxed{\det = -m^{2}(m - 1)^{2}, \quad \text{inversible} \iff m \notin \{0, 1\}}$$ Piège. Avant de développer, on cherche toujours une opération qui fait apparaître un facteur commun ou des zéros : une colonne de sommes égales, comme dans les deuxième et troisième matrices, est le cas le plus fréquent. Le développement brutal d'un déterminant d'ordre $4$ comporte $24$ termes, et le résultat factorisé, seul utile ici, serait difficile à retrouver.