Exercice 37

1. On développe $\Delta_{n + 2}$ par rapport à sa première ligne, qui a deux coefficients non nuls : $3$ en place $(1, 1)$ et $1$ en place $(1, 2)$, de signe $-$. Le premier mineur est $\Delta_{n + 1}$. Le second a pour première colonne $(2, 0, \dots, 0)$, et son développement par rapport à cette colonne donne $2\Delta_{n}$. Ainsi $$\boxed{\Delta_{n + 2} = 3\Delta_{n + 1} - 2\Delta_{n} \quad (n \geqslant 1)}$$ avec $\Delta_{1} = 3$ et $\Delta_{2} = 9 - 2 = 7$. L'équation caractéristique $r^{2} - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2) = 0$ (chapitre 7) donne $\Delta_{n} = \lambda + \mu 2^{n}$ ; les conditions $\lambda + 2\mu = 3$ et $\lambda + 4\mu = 7$ donnent $\mu = 2$ et $\lambda = -1$. $$\boxed{\Delta_{n} = 2^{n + 1} - 1}$$

2. Le même développement donne, en notant $E_{n}$ ce déterminant, $E_{n + 2} = (1 + x^{2})E_{n + 1} - x^{2}E_{n}$, le produit des deux coefficients non diagonaux voisins valant $(-x)(-x) = x^{2}$. On a $E_{1} = 1 + x^{2}$ et $E_{2} = (1 + x^{2})^{2} - x^{2} = 1 + x^{2} + x^{4}$. Montrons par récurrence double que $E_{n} = \sum_{k = 0}^{n}x^{2k}$. Si c'est vrai aux rangs $n$ et $n + 1$, alors $E_{n + 1} - E_{n} = x^{2n + 2}$, et $$E_{n + 2} = E_{n + 1} + x^{2}(E_{n + 1} - E_{n}) = \sum_{k = 0}^{n + 1}x^{2k} + x^{2n + 4} = \sum_{k = 0}^{n + 2}x^{2k}.$$

$$\boxed{E_{n} = 1 + x^{2} + x^{4} + \cdots + x^{2n} = \begin{cases} \dfrac{x^{2n + 2} - 1}{x^{2} - 1} & \text{si } x^{2} \neq 1 \\[2mm] n + 1 & \text{si } x^{2} = 1 \end{cases}}$$ Pour $x = 1$, on retrouve l'exemple du cours, $D_{n} = n + 1$. ✓

3. On note $F_{n}$ ce déterminant. Pour garder intact le premier coefficient, on développe $F_{n + 2}$ par rapport à sa dernière ligne : le coefficient $2\cos\theta$ donne $2\cos\theta\,F_{n + 1}$, et le coefficient $1$ en place $(n + 2, n + 1)$, de signe $-$, a un mineur dont la dernière colonne est $(0, \dots, 0, 1)$ ; son développement donne $F_{n}$. Ainsi $$F_{n + 2} = 2\cos\theta\,F_{n + 1} - F_{n}, \qquad F_{1} = \cos\theta, \qquad F_{2} = 2\cos^{2}\theta - 1 = \cos 2\theta.$$ La formule de trigonométrie $\cos\big((n + 2)\theta\big) + \cos(n\theta) = 2\cos\theta\cos\big((n + 1)\theta\big)$ (chapitre 4) montre que la suite $\big(\cos(n\theta)\big)$ vérifie la même relation et les mêmes conditions initiales ; une récurrence double conclut. $$\boxed{F_{n} = \cos(n\theta)}$$ À retenir. Pour un déterminant tridiagonal, le développement par rapport à une ligne extrême conduit toujours à une récurrence linéaire d'ordre $2$, dont le coefficient de $F_{n}$ est le produit des deux coefficients voisins de la diagonale, changé de signe. On la résout comme au chapitre 7, ou l'on vérifie une formule conjecturée.