Exercice 38

1. On effectue $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i - 1}$ pour $i = n$, puis $n - 1$, …, jusqu'à $2$ : en commençant par le bas, chaque opération utilise une ligne qui n'a pas encore été modifiée. Le coefficient $(i, j)$ devient $s_{\min(i, j)} - s_{\min(i - 1, j)}$, qui vaut $s_{j} - s_{j} = 0$ si $j \leqslant i - 1$, et $s_{i} - s_{i - 1}$ si $j \geqslant i$. La matrice obtenue est triangulaire supérieure. $$\boxed{\det\big(s_{\min(i, j)}\big) = s_{1}(s_{2} - s_{1})(s_{3} - s_{2})\cdots(s_{n} - s_{n - 1})}$$

2. Avec $s_{k} = k$, tous les facteurs valent $1$ ; avec $s_{k} = S_{k}$, on a $S_{k} - S_{k - 1} = k$. $$\boxed{\det\big(\min(i, j)\big) = 1, \qquad \det\big(S_{\min(i, j)}\big) = 1 \times 2 \times \cdots \times n = n!}$$

3. On effectue cette fois $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i + 1}$ pour $i = 1$, puis $2$, …, jusqu'à $n - 1$, en commençant par le haut. Le coefficient $(i, j)$ devient $\max(i, j) - \max(i + 1, j)$, qui vaut $i - (i + 1) = -1$ si $j \leqslant i$, et $j - j = 0$ si $j \geqslant i + 1$. La dernière ligne, inchangée, est $(n, n, \dots, n)$. La matrice obtenue est triangulaire inférieure, de diagonale $(-1, \dots, -1, n)$. $$\boxed{\det\big(\max(i, j)\big) = (-1)^{n - 1}n}$$ Les mêmes opérations sur $\big(a^{\max(i, j)}\big)$ donnent, pour $i \leqslant n - 1$, les coefficients $a^{i} - a^{i + 1} = a^{i}(1 - a)$ si $j \leqslant i$, et $a^{j} - a^{j} = 0$ si $j > i$ ; la dernière ligne est $(a^{n}, \dots, a^{n})$. Le produit des coefficients diagonaux vaut $a^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)}(1 - a)^{n - 1}a^{n}$. $$\boxed{\det\big(a^{\max(i, j)}\big) = a^{\frac{n(n + 1)}{2}}(1 - a)^{n - 1}}$$ Piège. L'ordre des opérations compte : si l'on effectuait $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ avant $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ dans la question 1, la seconde opération utiliserait la ligne $L_{2}$ déjà modifiée, et le résultat ne serait plus triangulaire. Une suite d'opérations élémentaires ne change jamais le déterminant, mais seul le bon ordre produit la matrice annoncée.