Exercice 39

Premier déterminant. On effectue $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{n}$ pour $i \leqslant n - 1$. La ligne $i$ devient $(i - n)$ fois le $i$-ième vecteur de la base canonique, puisque ses autres coefficients valent $n - n = 0$ ; la dernière ligne reste $(n, \dots, n)$. La matrice est triangulaire inférieure, de diagonale $(1 - n, 2 - n, \dots, -1, n)$. $$\boxed{\det = (-1)^{n - 1}(n - 1)! \times n = (-1)^{n - 1}n!}$$

Deuxième déterminant. Si $z \neq 0$, l'opération $C_{1} \leftarrow C_{1} - \frac{y}{z}(C_{2} + \cdots + C_{n})$ annule les coefficients $2$ à $n$ de la première colonne et remplace le premier par $a - (n - 1)\frac{xy}{z}$. La matrice devient triangulaire supérieure, de diagonale $\big(a - (n - 1)\frac{xy}{z}, z, \dots, z\big)$, et le déterminant vaut $\big(a - (n - 1)\frac{xy}{z}\big)z^{n - 1}$. Si $z = 0$ et $n \geqslant 3$, les colonnes $C_{2}$ et $C_{3}$ sont égales à $(x, 0, \dots, 0)$, et le déterminant est nul ; si $z = 0$ et $n = 2$, il vaut $-xy$. Dans tous les cas, $$\boxed{\det = z^{n - 2}\big(az - (n - 1)xy\big)}$$ avec la convention $z^{0} = 1$.

Troisième déterminant. On effectue $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i + 1}$ pour $i = 1, \dots, n - 1$, dans cet ordre. Le coefficient $(i, j)$ devient $|i - j| - |i + 1 - j|$, qui vaut $-1$ si $j \leqslant i$ et $+1$ si $j \geqslant i + 1$ ; la dernière ligne reste $(n - 1, n - 2, \dots, 1, 0)$. On effectue ensuite $C_{j} \leftarrow C_{j} + C_{1}$ pour $j \geqslant 2$ : pour $i \leqslant n - 1$, la ligne $i$ devient $(-1, -2, \dots, -2, 0, \dots, 0)$, avec $i - 1$ coefficients égaux à $-2$, et le dernier coefficient de la dernière ligne devient $0 + (n - 1)$. La matrice est triangulaire inférieure, de diagonale $(-1, -2, \dots, -2, n - 1)$. $$\boxed{\det\big(|i - j|\big) = (-1)(-2)^{n - 2}(n - 1) = (-1)^{n - 1}(n - 1)2^{n - 2}}$$ Pour $n = 2$, on retrouve $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$, et pour $n = 3$, la règle de Sarrus donne $0 + 2 + 2 - 0 - 0 - 0 = 4$. ✓