Exercice 40

1. On note $A_{1}$, …, $A_{n}$ les colonnes de $A$ et $U = (1, \dots, 1)$, de sorte que les colonnes de $A(x)$ sont les $A_{j} + xU$. Les opérations $C_{j} \leftarrow C_{j} - C_{1}$, pour $j \geqslant 2$, remplacent ces colonnes par $A_{j} - A_{1}$, qui ne dépendent plus de $x$. Par linéarité par rapport à la première colonne, $$\det A(x) = \det(A_{1}, A_{2} - A_{1}, \dots, A_{n} - A_{1}) + x\det(U, A_{2} - A_{1}, \dots, A_{n} - A_{1}).$$

2. Soit $M$ la matrice de l'énoncé et $g(x) = \det(M + xJ)$, de la forme $g(x) = p + qx$ par la question 1, avec $p = \det M$. Pour $x = -a$, la matrice $M - aJ$ est triangulaire inférieure de diagonale $(\alpha_{i} - a)$, donc $g(-a) = f(a)$ ; de même, $M - bJ$ est triangulaire supérieure, et $g(-b) = f(b)$. Le système $$p - aq = f(a), \qquad p - bq = f(b)$$ donne, par différence, $(b - a)q = f(a) - f(b)$, puis $p = f(a) + aq = \dfrac{(b - a)f(a) + af(a) - af(b)}{b - a}$. $$\boxed{\det M = \frac{bf(a) - af(b)}{b - a}}$$

3. Lorsque $a = b$, la matrice est $D + bJ$, de colonnes $D_{j} + bU$, avec $D_{j} = (\alpha_{j} - b)e_{j}$. On développe par multilinéarité : chaque terme choisit, dans chaque colonne, $D_{j}$ ou $bU$. Les termes où $bU$ apparaît au moins deux fois sont nuls, car la forme est alternée. Il reste $\det D$ et les $n$ termes où $bU$ occupe une seule place $i$. Dans ce dernier, on écrit $bU = b\sum_{k}e_{k}$ : pour $k \neq i$, la colonne $e_{k}$ est colinéaire à $D_{k}$, et la famille est liée (proposition 6 (iii)) ; il ne reste que $k = i$, qui donne $b\prod_{j \neq i}(\alpha_{j} - b)$. $$\boxed{\det(D + bJ) = \prod_{i = 1}^{n}(\alpha_{i} - b) + b\sum_{i = 1}^{n}\prod_{j \neq i}(\alpha_{j} - b)}$$ On peut aussi obtenir ce résultat comme limite de celui de la question 2 quand $a$ tend vers $b$ : c'est la dérivée en $b$ de $x \mapsto xf(b) - bf(x)$, à savoir $f(b) - bf'(b)$.

4. On applique la question 3 avec tous les $\alpha_{i}$ égaux au coefficient diagonal $a$ (cette lettre ne désigne plus ici le coefficient au-dessus de la diagonale) : $$(a - b)^{n} + nb(a - b)^{n - 1} = (a - b)^{n - 1}(a - b + nb).$$

$$\boxed{\det = \big(a + (n - 1)b\big)(a - b)^{n - 1}}$$ Pour $a = x$ et $b = 1$, on retrouve la deuxième matrice de l'exercice 36, de déterminant $(x + 3)(x - 1)^{3}$ pour $n = 4$. ✓

5. On a ${A(x)}^{T} = {A}^{T} + xJ = -A + xJ = -A(-x)$. Par le théorème 6 (iv) et (i), et puisque $n$ est pair, $$\det A(x) = \det\big({A(x)}^{T}\big) = (-1)^{n}\det A(-x) = \det A(-x).$$ La fonction affine $x \mapsto \det A + cx$ prend donc la même valeur en $x$ et en $-x$ : $c = 0$. $$\boxed{\det A(x) = \det A \quad (x \in \mathbb{R})}$$ À retenir. L'idée de la question 2 est de considérer le déterminant comme une fonction d'un paramètre ajouté, de forme connue (ici affine), puis de l'évaluer là où il est facile. La même idée reviendra aux exercices 46 et 56.