Exercice 41

On utilise la formule de Pascal $\binom{k}{\ell} = \binom{k - 1}{\ell} + \binom{k - 1}{\ell - 1}$, valable pour $k \geqslant 1$ et tout entier $\ell$, avec la convention $\binom{k}{\ell} = 0$ si $\ell < 0$ ou $\ell > k$ (chapitre 3) ; on l'emploie sous la forme d'une différence, en isolant l'un ou l'autre des deux termes de droite.

1. On note $D_{p}(m)$ ce déterminant, dont les indices vont de $0$ à $p$. On effectue les opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i - 1}$ pour $i$ allant de $p$ à $1$, en commençant par la dernière ligne. Pour $i \geqslant 1$, le coefficient $(i, j)$ devient $$\binom{m + i}{j} - \binom{m + i - 1}{j} = \binom{m + i - 1}{j - 1},$$ nul pour $j = 0$. La première colonne devient $(1, 0, \dots, 0)$, et le développement par rapport à elle laisse le déterminant des coefficients $\binom{m + i - 1}{j - 1}$, pour $i$ et $j$ compris entre $1$ et $p$. En posant $i' = i - 1$ et $j' = j - 1$, c'est $D_{p - 1}(m)$. Ainsi $D_{p}(m) = D_{p - 1}(m) = \cdots = D_{0}(m) = \binom{m}{0}$. $$\boxed{\det\Big(\binom{m + i}{j}\Big)_{0 \leqslant i, j \leqslant p} = 1}$$

2. En posant $i' = i - 1$ et $j' = j - 1$, le premier déterminant est $\det\big(\binom{1 + i'}{j'}\big)_{0 \leqslant i', j' \leqslant n - 1} = D_{n - 1}(1)$.

Pour le second, noté $P_{n}$, on effectue $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{i - 1}$ pour $i = n, \dots, 2$ : pour $i \geqslant 2$, le coefficient devient $\binom{i + j - 2}{i - 1} - \binom{i + j - 3}{i - 2} = \binom{i + j - 3}{i - 1}$, nul pour $j = 1$. On effectue ensuite $C_{j} \leftarrow C_{j} - C_{j - 1}$ pour $j = n, \dots, 2$ : la première ligne $(1, 1, \dots, 1)$ devient $(1, 0, \dots, 0)$, et, pour $i, j \geqslant 2$, le coefficient devient $$\binom{i + j - 3}{i - 1} - \binom{i + j - 4}{i - 1} = \binom{i + j - 4}{i - 2},$$ qui est le coefficient d'indice $(i - 1, j - 1)$ de la matrice d'ordre $n - 1$ de même forme. La matrice est diagonale par blocs, de blocs $(1)$ et la matrice de $P_{n - 1}$, et $P_{n} = P_{n - 1} = \cdots = P_{1} = 1$. $$\boxed{\det\Big(\binom{i}{j - 1}\Big) = 1, \qquad \det\Big(\binom{i + j - 2}{i - 1}\Big) = 1}$$

3. L'application $\Phi : Q \mapsto \big(Q(1), \dots, Q(n)\big)$, de $\mathbb{R}_{n - 2}[X]$ dans $\mathbb{R}^{n}$, est linéaire. La $j$-ième colonne de la matrice est $\Phi(Q_{j})$, avec $Q_{j} = P(X + j - 1) \in \mathbb{R}_{n - 2}[X]$. Les $n$ polynômes $Q_{1}$, …, $Q_{n}$ appartiennent à un espace de dimension $n - 1$ : ils sont liés (chapitre 15), et leurs images par $\Phi$ le sont aussi. La famille des colonnes est liée. $$\boxed{\det\big(P(i + j - 1)\big) = 0}$$ Piège. Il ne suffit pas de remarquer que les coefficients sont des valeurs de $P$ : avec $P \in \mathbb{R}_{n - 1}[X]$, le résultat est faux, puisque $P = X^{n - 1}$ donne pour $n = 2$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, de déterminant $-1$. C'est la comparaison entre $n$ colonnes et la dimension $n - 1$ qui fait tout.