Exercice 42

1. On factorise $i$ dans la ligne $i$ (proposition 10 (ii)) : il reste la matrice de Vandermonde $\big(i^{j - 1}\big)$, et la proposition 12 donne $$\det\big(i^{j}\big) = n! \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n}(j - i) = n! \prod_{j = 2}^{n}\prod_{i = 1}^{j - 1}(j - i) = n! \prod_{j = 2}^{n}(j - 1)!.$$

$$\boxed{\det\big(i^{j}\big)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} = 1! \times 2! \times \cdots \times n!}$$ Les premières valeurs sont $1$, $2$, $12$, $288$, $34\,560$.

2. On écrit $P_{j - 1} = \sum_{k = 1}^{j}t_{kj}X^{k - 1}$, avec $t_{jj} = c_{j - 1}$, et l'on pose $t_{kj} = 0$ pour $k > j$. La matrice $T = (t_{kj})$ est triangulaire supérieure de diagonale $(c_{0}, \dots, c_{n - 1})$, et, si $V$ est la matrice de Vandermonde $\big(x_{i}^{k - 1}\big)$, $$(VT)_{ij} = \sum_{k = 1}^{n}x_{i}^{k - 1}t_{kj} = P_{j - 1}(x_{i}).$$ Par le théorème 6 (i) et la proposition 11 (i), $$\boxed{\det\big(P_{j - 1}(x_{i})\big) = c_{0}c_{1}\cdots c_{n - 1}\,V(x_{1}, \dots, x_{n})}$$ Autrement dit, on peut remplacer chaque colonne par la colonne des valeurs de $c_{j - 1}X^{j - 1}$, par des opérations $C_{j} \leftarrow C_{j} - \lambda C_{k}$ avec $k < j$.

3. On définit les polynômes $T_{k}$ par $$T_{0} = 1, \qquad T_{1} = X, \qquad T_{k + 2} = 2XT_{k + 1} - T_{k} \quad (k \in \mathbb{N}).$$ La formule $\cos\big((k + 2)\theta\big) + \cos(k\theta) = 2\cos\theta\cos\big((k + 1)\theta\big)$ (chapitre 4) montre, par récurrence double, que $\cos(k\theta) = T_{k}(\cos\theta)$ pour tout $k$. On a $T_{1} = X$, de coefficient dominant $1 = 2^{0}$, et $T_{2} = 2X^{2} - 1$. Si $T_{k + 1}$ est de degré $k + 1$ et de coefficient dominant $2^{k}$, et $T_{k}$ de degré $k$, alors $2XT_{k + 1}$ est de degré $k + 2$ et de coefficient dominant $2^{k + 1}$, et la soustraction de $T_{k}$ ne le modifie pas. $$\boxed{\cos(k\theta) = T_{k}(\cos\theta), \qquad \deg T_{k} = k, \qquad \text{coefficient dominant } 2^{k - 1} \ (k \geqslant 1)}$$ Ces polynômes sont les polynômes de Tchebychev.

4. Le coefficient $(i, j)$ est $T_{j - 1}(\cos\theta_{i})$, et l'on applique la question 2 avec $c_{0} = 1$ et $c_{k} = 2^{k - 1}$ : le produit des $c_{k}$ vaut $2^{0 + 1 + \cdots + (n - 2)}$. $$\boxed{\det\big(\cos((j - 1)\theta_{i})\big) = 2^{\frac{(n - 1)(n - 2)}{2}}\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n}(\cos\theta_{j} - \cos\theta_{i})}$$ Pour $n = 3$, $$\boxed{\begin{vmatrix} 1 & \cos\theta_{1} & \cos 2\theta_{1} \\ 1 & \cos\theta_{2} & \cos 2\theta_{2} \\ 1 & \cos\theta_{3} & \cos 2\theta_{3} \end{vmatrix} = 2(\cos\theta_{2} - \cos\theta_{1})(\cos\theta_{3} - \cos\theta_{1})(\cos\theta_{3} - \cos\theta_{2})}$$ Le déterminant est nul si et seulement si deux des $\cos\theta_{i}$ sont égaux.