Exercice 43

1. Dans la formule du déterminant, chaque terme est un produit de coefficients égaux à $\pm 1$, multiplié par une signature : c'est un entier, et $\det A$, somme de $n!$ entiers, est un entier.

2. On effectue $L_{i} \leftarrow L_{i} + L_{1}$ pour $i \geqslant 2$, ce qui ne change pas le déterminant. Chaque coefficient des lignes $2$ à $n$ devient $a_{ij} + a_{1j} \in \{-2, 0, 2\}$ : il est pair. On factorise $2$ dans chacune de ces $n - 1$ lignes (proposition 10 (ii)) : $\det A = 2^{n - 1}\det A'$, où $A'$ est à coefficients entiers, donc $\det A' \in \mathbb{Z}$ par la question 1. $$\boxed{2^{n - 1} \mid \det A}$$ À retenir. La borne est atteinte : pour $n = 2$, $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$. La divisibilité limite fortement les valeurs possibles : pour $n = 3$, $\det A$ est un multiple de $4$ compris entre $-6$ et $6$, d'après la formule à six termes, donc $|\det A| \leqslant 4$.