Exercice 44

On pose $$Q(x) = x^{n} - a_{n - 1}x^{n - 1} - \cdots - a_{1}x - a_{0}.$$ Pour $n = 1$, on a directement $\det(A - xI_{1}) = a_{0} - x = -Q(x)$. On suppose $n \geqslant 2$ et l'on effectue l'opération $$L_{1} \leftarrow L_{1} + xL_{2} + x^{2}L_{3} + \cdots + x^{n - 1}L_{n},$$ qui ne change pas le déterminant. Pour $j \leqslant n - 1$, la colonne $j$ de $A - xI_{n}$ a pour seuls coefficients non nuls $-x$ en ligne $j$ et $1$ en ligne $j + 1$ : le nouveau coefficient $(1, j)$ vaut $x^{j - 1}(-x) + x^{j} = 0$. Le nouveau coefficient $(1, n)$ vaut $$a_{0} + a_{1}x + \cdots + a_{n - 2}x^{n - 2} + (a_{n - 1} - x)x^{n - 1} = -Q(x).$$ On développe par rapport à la première ligne $(0, \dots, 0, -Q(x))$ : le coefficient est en place $(1, n)$, de signe $(-1)^{n + 1}$, et le mineur, formé des lignes $2$ à $n$ et des colonnes $1$ à $n - 1$, est triangulaire supérieur de diagonale $(1, \dots, 1)$. $$\boxed{\det(A - xI_{n}) = (-1)^{n + 1}\big(-Q(x)\big) = (-1)^{n}\big(x^{n} - a_{n - 1}x^{n - 1} - \cdots - a_{1}x - a_{0}\big)}$$ Soit $R$ un polynôme unitaire de degré $n$, que l'on écrit $$R = X^{n} + b_{n - 1}X^{n - 1} + \cdots + b_{1}X + b_{0}.$$ Le choix $a_{k} = -b_{k}$ donne $\det(A - xI_{n}) = (-1)^{n}R(x)$ pour tout $x \in \mathbb{C}$. $$\boxed{\text{tout polynôme unitaire de degré } n \text{ est égal, au signe } (-1)^{n} \text{ près, à } x \mapsto \det(A - xI_{n})}$$ À retenir. La matrice $A$ est appelée matrice compagnon du polynôme. La fonction $x \mapsto \det(A - xI_{n})$ s'annule exactement aux $x$ pour lesquels $A - xI_{n}$ n'est pas inversible ; cette fonction polynomiale sera étudiée en seconde année.