Exercice 45

1. Le produit par blocs (chapitre 16) donne $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_{n} & -A^{-1}B \\ 0 & I_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D - CA^{-1}B \end{pmatrix}.$$ La deuxième matrice est triangulaire par blocs, de déterminant $\det(I_{n})^{2} = 1$ (proposition 11 (ii)). La matrice de droite est triangulaire inférieure par blocs ; sa transposée est triangulaire supérieure par blocs, de blocs diagonaux ${A}^{T}$ et ${(D - CA^{-1}B)}^{T}$. Par les théorèmes 6 (i) et (iv) et la proposition 11 (ii), $$\boxed{\det M = \det(A)\det(D - CA^{-1}B)}$$

2. Comme $AC = CA$, on a $ACA^{-1} = C$, et le théorème 6 (i) donne $$\det(A)\det(D - CA^{-1}B) = \det\big(AD - ACA^{-1}B\big) = \det(AD - CB).$$

3. On a bien $AC = I_{2}E_{11} = E_{11} = E_{11}I_{2} = CA$, et $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ L'opération $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{3}$ donne la matrice de lignes $e_{4}$, $e_{2}$, $e_{1}$, $e_{3}$ (vecteurs lignes de la base canonique) ; seule la permutation $1 \mapsto 3$, $3 \mapsto 4$, $4 \mapsto 1$, $2 \mapsto 2$ fournit un terme non nul dans la formule, et c'est un $3$-cycle, de signature $1$. Ainsi $\det M = 1$. D'autre part, $$AD - CB = E_{21} - E_{11}E_{12} = E_{21} - E_{12}, \qquad AD - BC = E_{21} - E_{12}E_{11} = E_{21},$$ de déterminants respectifs $0 \times 0 - (-1) \times 1 = 1$ et $0$. $$\boxed{\det M = 1 = \det(AD - CB), \qquad \det(AD - BC) = 0}$$

4. On travaille dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$, où les opérations élémentaires ont les mêmes effets (proposition 10). Les opérations $C_{k} \leftarrow C_{k} - \mathrm{i} C_{k - n}$, pour $k \in [\![n + 1\,;2n]\!]$, remplacent le bloc de colonnes $\begin{pmatrix} -B \\ A \end{pmatrix}$ par $\begin{pmatrix} -B - \mathrm{i} A \\ A - \mathrm{i} B \end{pmatrix}$. Les opérations $L_{k} \leftarrow L_{k} + \mathrm{i} L_{k + n}$, pour $k \in [\![1\,;n]\!]$, remplacent ensuite le bloc de lignes du haut par $\big(A + \mathrm{i} B, \ -B - \mathrm{i} A + \mathrm{i}(A - \mathrm{i} B)\big) = (A + \mathrm{i} B, \ 0)$ : $$\begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & -B - \mathrm{i} A \\ B & A - \mathrm{i} B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A + \mathrm{i} B & 0 \\ B & A - \mathrm{i} B \end{vmatrix} = \det(A + \mathrm{i} B)\det(A - \mathrm{i} B),$$ la dernière égalité par transposition, comme à la question 1. Enfin, $A$ et $B$ étant réelles, $A - \mathrm{i} B$ est la matrice conjuguée de $A + \mathrm{i} B$ ; le déterminant étant une somme de produits de coefficients, à coefficients entiers, la conjugaison passe à travers la formule (chapitre 4), et $\det(A - \mathrm{i} B) = \overline{\det(A + \mathrm{i} B)}$. $$\boxed{\begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \end{vmatrix} = \big|\det(A + \mathrm{i} B)\big|^{2} \geqslant 0}$$ Piège. La question 3 montre que, pour des matrices, l'analogue de la formule $ad - bc$ dépend de l'ordre des facteurs : c'est $AD - CB$, où $C$ précède $B$ comme $A$ précède $D$, et non $AD - BC$.

À retenir. La formule de la question 2 reste vraie sans supposer $A$ inversible, lorsque $AC = CA$. La matrice $A + tI_{n}$ commute encore avec $C$, et $t \mapsto \det(A + tI_{n})$ est un polynôme unitaire de degré $n$, qui n'a qu'un nombre fini de racines : pour tous les autres réels $t$, la question 2 donne $$\begin{vmatrix} A + tI_{n} & B \\ C & D \end{vmatrix} = \det\big((A + tI_{n})D - CB\big).$$ Les deux membres sont des polynômes en $t$, égaux en une infinité de points, donc égaux (chapitre 13) ; on conclut en $t = 0$.