Exercice 53

Les déterminants de $A$ et $B$ sont des entiers, par la formule qui définit le déterminant. Comme ils sont premiers entre eux, le théorème de Bézout (théorème 4 du chapitre 12) fournit deux entiers $u$ et $v$ tels que $u\det A + v\det B = 1$. Les cofacteurs de $A$ et $B$ sont des déterminants de matrices à coefficients entiers : $\operatorname{Com}(A)$ et $\operatorname{Com}(B)$ sont à coefficients entiers. On pose $$U = u\,{\operatorname{Com}(A)}^{T}, \qquad V = v\,{\operatorname{Com}(B)}^{T},$$ qui appartiennent à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})$. Par le théorème 8, $$AU + BV = u\det(A)\,I_{n} + v\det(B)\,I_{n} = I_{n}.$$

$$\boxed{U = u\,{\operatorname{Com}(A)}^{T}, \quad V = v\,{\operatorname{Com}(B)}^{T}, \quad \text{où } u\det A + v\det B = 1}$$ Par exemple, $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ont pour déterminants $5$ et $3$, avec $2 \times 5 - 3 \times 3 = 1$ ; les matrices $U = 2\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ et $V = -3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ vérifient $AU + BV = I_{2}$ ✓.

À retenir. La relation $A\,{\operatorname{Com}(A)}^{T} = \det(A)\,I_{n}$ ramène une question sur les matrices à une question sur les entiers $\det A$ et $\det B$. C'est la version matricielle de la relation de Bézout, que l'on retrouve avec $n = 1$.