Exercice 52

On note $C_{1}$, …, $C_{n}$ les colonnes de $A$, $U$ la colonne dont tous les coefficients valent $1$, et $C_{ij}$ les cofacteurs de $A$ ; les colonnes de $B$ sont les $C_{j} - U$. On développe $\det(C_{1} - U, \dots, C_{n} - U)$ par linéarité par rapport à chaque colonne (proposition 9 (i)) : on obtient $2^{n}$ termes, selon que l'on prend $C_{j}$ ou $-U$ à chaque place. Tout terme où $U$ apparaît au moins deux fois est nul, car il a deux colonnes égales. Il reste $$\det B = \det A - \sum_{j = 1}^{n} \det A_{j},$$ où $A_{j}$ est la matrice $A$ dans laquelle la $j$-ième colonne est remplacée par $U$. Le développement de $\det A_{j}$ par rapport à sa $j$-ième colonne (théorème 7 (i)) fait intervenir les cofacteurs de $A$ d'indices $(i, j)$, qui ne dépendent pas de cette colonne : $$\det A_{j} = \sum_{i = 1}^{n} 1 \times C_{ij}, \qquad \text{donc} \qquad \det B = \det A - \sum_{i, j} C_{ij}.$$ Par le théorème 8, $A^{-1} = \frac{1}{\det A}{\operatorname{Com}(A)}^{T}$, dont les coefficients sont les $\frac{C_{ji}}{\det A}$. La somme de ces coefficients est donc $$\alpha = \frac{1}{\det A}\sum_{i, j} C_{ij}, \qquad \text{soit} \qquad \sum_{i, j} C_{ij} = \alpha\det A.$$

$$\boxed{\det(A - J) = (1 - \alpha)\det A}$$ Par exemple, pour $A = 2I_{2}$, on trouve $A^{-1} = \frac{1}{2}I_{2}$, $\alpha = 1$, et en effet $A - J = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ est de déterminant nul ✓.

À retenir. L'égalité $\det(A - J) = \det A - \sum_{i, j} C_{ij}$ vaut pour toute matrice $A$, inversible ou non : la multilinéarité ramène une perturbation de rang $1$ à un calcul de cofacteurs. C'est le même mécanisme qu'à l'exercice 40, où $\det(A + xJ)$ est affine en $x$.