Exercice 54

1. Pour $M$ inversible, le théorème 8 donne ${\operatorname{Com}(M)}^{T} = \det(M)\,M^{-1}$, donc, en transposant, $\operatorname{Com}(M) = \det(M)\,{(M^{-1})}^{T}$. Pour $A$, $B$ inversibles, $AB$ l'est, d'inverse $B^{-1}A^{-1}$, et la transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse (proposition 5 du chapitre 16) : $$\operatorname{Com}(AB) = \det(A)\det(B)\,{(B^{-1}A^{-1})}^{T} = \det(A)\,{(A^{-1})}^{T}\,\det(B)\,{(B^{-1})}^{T} = \operatorname{Com}(A)\operatorname{Com}(B).$$

2. Les coefficients de $tI_{n} - M$ sont $t\delta_{ij} - m_{ij}$, où $\delta_{ij}$ vaut $1$ si $i = j$ et $0$ sinon. Par définition, $$\det(tI_{n} - M) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_{n}} \varepsilon(\sigma)\prod_{j = 1}^{n}\big(t\delta_{\sigma(j)j} - m_{\sigma(j)j}\big).$$ Chaque terme est un polynôme en $t$, dont le degré est au plus le nombre de points fixes de $\sigma$. Pour $\sigma = \mathrm{id}$, c'est $\prod_{j}(t - m_{jj})$, unitaire de degré $n$. Une permutation $\sigma \neq \mathrm{id}$ déplace au moins deux éléments, puisqu'un élément déplacé est envoyé sur un autre élément déplacé : le terme associé est de degré au plus $n - 2$. La somme est donc une fonction polynomiale unitaire de degré $n$, associée à un polynôme $\chi_{M} \in \mathbb{C}[X]$ non nul.

Comme $\det(M - tI_{n}) = (-1)^{n}\chi_{M}(t)$, la matrice $M - tI_{n}$ est inversible (théorème 6 (ii)) sauf si $t$ est racine de $\chi_{M}$, ce qui arrive pour au plus $n$ valeurs (théorème 3 du chapitre 13). $$\boxed{\det(tI_{n} - M) = \chi_{M}(t), \ \chi_{M} \text{ unitaire de degré } n ; \quad M - tI_{n} \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C}) \text{ si } \chi_{M}(t) \neq 0}$$

3. Soit $A$, $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$, et $F$ l'ensemble, de cardinal au plus $2n$, des $t$ tels que $A - tI_{n}$ ou $B - tI_{n}$ ne soit pas inversible. Pour $t \notin F$, la question 1 donne $$\operatorname{Com}\big((A - tI_{n})(B - tI_{n})\big) = \operatorname{Com}(A - tI_{n})\operatorname{Com}(B - tI_{n}).$$ Les coefficients de $A - tI_{n}$, $B - tI_{n}$ et de leur produit sont des polynômes en $t$. Un cofacteur est un déterminant d'ordre $n - 1$ de tels coefficients, donc, par la formule qui définit le déterminant, une somme de produits de polynômes en $t$ : c'est encore un polynôme en $t$. Ainsi, pour chaque $(i, j)$, il existe deux polynômes $P_{ij}$ et $Q_{ij}$ de $\mathbb{C}[X]$ tels que les coefficients d'indice $(i, j)$ des deux membres soient $P_{ij}(t)$ et $Q_{ij}(t)$. Le polynôme $P_{ij} - Q_{ij}$ s'annule sur l'ensemble infini $\mathbb{C} \setminus F$ : il est nul (théorème 3 du chapitre 13). En particulier $P_{ij}(0) = Q_{ij}(0)$ pour tous $i$, $j$. $$\boxed{\forall A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), \quad \operatorname{Com}(AB) = \operatorname{Com}(A)\operatorname{Com}(B)}$$ À retenir. C'est un argument de prolongement : une identité polynomiale vraie pour les matrices inversibles s'étend à toutes les matrices, en remplaçant $A$ par $A - tI_{n}$, inversible pour presque tout $t$. Le polynôme $\chi_{M}$ reviendra en deuxième année sous le nom de polynôme caractéristique.