Exercice 55

1. Pour tout $i$, $P(x_{i}) = \sum_{j = 0}^{n} a_{j}x_{i}^{j}$ est le produit de la ligne $(1, x_{i}, \dots, x_{i}^{n})$ par la colonne des $a_{j}$. On pose donc $$\boxed{M = \big(x_{i}^{j}\big)_{0 \leqslant i, j \leqslant n} = \begin{pmatrix} 1 & x_{0} & \cdots & x_{0}^{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{n} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n + 1}(\mathbb{Z})}$$ C'est la matrice de Vandermonde de la proposition 12, à coefficients entiers puisque les $x_{i}$ le sont.

2. Par la proposition 12, $V = \det M = \prod_{i < j}(x_{j} - x_{i})$ est un entier non nul, les $x_{i}$ étant distincts. La comatrice de $M$ est à coefficients entiers, et le théorème 8 donne $$\begin{pmatrix} a_{0} \\ \vdots \\ a_{n} \end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix} P(x_{0}) \\ \vdots \\ P(x_{n}) \end{pmatrix} = \frac{1}{V}\,{\operatorname{Com}(M)}^{T}\begin{pmatrix} P(x_{0}) \\ \vdots \\ P(x_{n}) \end{pmatrix}.$$ Si les $P(x_{i})$ sont entiers, chaque $Va_{j}$ est une somme de produits d'entiers : $VP \in \mathbb{Z}[X]$. L'entier $d = |V| \geqslant 1$ convient. $$\boxed{d = \Big|\prod_{0 \leqslant i < j \leqslant n}(x_{j} - x_{i})\Big| \text{ convient}}$$ Pour $(x_{0}, x_{1}, x_{2}) = (0, 1, 3)$, on trouve $V = (1 - 0)(3 - 0)(3 - 1) = 6$. $$\boxed{n = 2, \ (0, 1, 3) : \quad d = 6 \text{ convient}}$$ On ne peut pas faire mieux : le polynôme $P = \frac{X(X - 1)}{6}$ prend les valeurs entières $0$, $0$, $1$ en $0$, $1$, $3$, et $dP \in \mathbb{Z}[X]$ exige que $6$ divise $d$.

3. Non. Pour tout réel $c$, le polynôme $P = c(X - x_{0})(X - x_{1})\cdots(X - x_{n})$ appartient à $\mathbb{R}_{n + 1}[X]$ et s'annule en tous les $x_{i}$ : ses valeurs sont entières. Mais son coefficient dominant est $c$, et, pour $c = \sqrt{2}$ par exemple, $dc$ n'est entier pour aucun entier $d \geqslant 1$. $$\boxed{\text{le résultat devient faux dans } \mathbb{R}_{n + 1}[X]}$$ Piège. L'argument repose sur l'inversibilité de $M$, qui est carrée : $n + 1$ conditions pour $n + 1$ coefficients. Avec un coefficient de plus, l'application $P \mapsto \big(P(x_{0}), \dots, P(x_{n})\big)$ n'est plus injective, et son noyau, la droite engendrée par $\prod_{i}(X - x_{i})$, contient des polynômes à coefficients aussi peu entiers que l'on veut.