Exercice 5

1. La permutation envoie $1$ sur $n$ et $k$ sur $k - 1$ pour $k \geqslant 2$. En suivant les images de $1$, on obtient $1 \mapsto n \mapsto n - 1 \mapsto \cdots \mapsto 2 \mapsto 1$ : c'est un cycle de longueur $n$. $$\boxed{\varepsilon = (-1)^{n - 1}}$$ Le comptage des inversions le confirme : les couples $(1, j)$, avec $j \geqslant 2$, sont des inversions, puisque l'image de $1$ est $n$, et ce sont les seules, car la suite des images $1, 2, \dots, n - 1$ des éléments $2$, …, $n$ est croissante. Il y a $n - 1$ inversions ✓.

2. La première permutation échange $2k - 1$ et $2k$ pour chaque $k \in [\![1\,;n]\!]$ : c'est le produit des $n$ transpositions $(2k - 1\ \ 2k)$. $$\boxed{\varepsilon\big((1\ 2)(3\ 4)\cdots(2n - 1\ \ 2n)\big) = (-1)^{n}}$$ Pour la seconde, notée $\sigma$, on a $\sigma(i) = 2i - 1$ et $\sigma(n + k) = 2k$ pour $i$, $k \in [\![1\,;n]\!]$. Deux éléments d'une même moitié ne forment pas d'inversion, puisque $\sigma$ est croissante sur $[\![1\,;n]\!]$ et sur $[\![n + 1\,;2n]\!]$. Pour $i \leqslant n$ et $j = n + k$, le couple $(i, j)$ est une inversion si et seulement si $2i - 1 > 2k$, c'est-à-dire $i \geqslant k + 1$ : il y a $n - k$ tels indices $i$. Au total, $$\operatorname{Inv}(\sigma) = \sum_{k = 1}^{n} (n - k) = \frac{n(n - 1)}{2}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n(n - 1)/2}}$$ Pour $n = 2$, la permutation $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ est la transposition $(2\ 3)$, de signature $-1 = (-1)^{1}$ ✓.

À retenir. Pour une famille de permutations dépendant de $n$, on choisit la méthode selon la forme : une décomposition en cycles évidente donne la signature immédiatement, sinon on compte les inversions par paquets, ici selon l'élément $j$ de la seconde moitié.