Exercice 6

On note $c_{k} = (k\ \ k + 1\ \ k + 2)$, de sorte que $\sigma = c_{1}c_{2}\cdots c_{n - 2}$, et l'on calcule $\sigma(x)$ en appliquant d'abord $c_{n - 2}$, puis $c_{n - 3}$, et ainsi de suite jusqu'à $c_{1}$. On utilise que $c_{k}$ fixe tout élément hors de $\{k, k + 1, k + 2\}$.

• Pour $3 \leqslant x \leqslant n - 2$, les facteurs $c_{k}$ avec $k > x$ fixent $x$. Puis $c_{x}$ envoie $x$ sur $x + 1$, $c_{x - 1}$ envoie $x + 1$ sur $x - 1$, et $c_{x - 2}$ envoie $x - 1$ sur $x$. Les facteurs restants, d'indices $k \leqslant x - 3$, fixent $x$ : on obtient $\sigma(x) = x$.

• Pour $x = 1$, seul $c_{1}$ agit, et $\sigma(1) = 2$. Pour $x = 2$, le facteur $c_{2}$ envoie $2$ sur $3$, puis $c_{1}$ envoie $3$ sur $1$ : $\sigma(2) = 1$.

• Pour $x = n - 1$, le facteur $c_{n - 2}$ envoie $n - 1$ sur $n$, que tous les autres fixent : $\sigma(n - 1) = n$. Pour $x = n$, le facteur $c_{n - 2}$ envoie $n$ sur $n - 2$, puis $c_{n - 3}$ envoie $n - 2$ sur $n - 1$, que les facteurs suivants fixent : $\sigma(n) = n - 1$.

Comme $n \geqslant 5$, les ensembles $\{1, 2\}$ et $\{n - 1, n\}$ sont disjoints, et l'on obtient une décomposition en cycles à supports disjoints. $$\boxed{\sigma = (1\ 2)(n - 1\ \ n), \qquad \text{d'ordre } 2, \qquad \varepsilon(\sigma) = 1}$$ La signature se contrôle sans calcul : $\sigma$ est un produit de $3$-cycles, tous pairs, donc $\varepsilon(\sigma) = 1$ par le théorème 2 ✓. Pour $n = 5$, on vérifie directement que $(1\ 2\ 3)(2\ 3\ 4)(3\ 4\ 5) = (1\ 2)(4\ 5)$.

Piège. Le produit de cycles qui se chevauchent n'a aucune raison de ressembler à ses facteurs : ici, $n - 2$ cycles de longueur $3$ se compensent presque entièrement et ne laissent que deux transpositions aux extrémités.