Exercice 7

1. Commençons par un cycle $c = (a_{1}\ \cdots\ a_{p})$, dont on lit les indices modulo $p$. Par récurrence, $c^{k}(a_{i}) = a_{i + k}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ ; donc $c^{k}$ fixe $a_{1}$ si et seulement si $p$ divise $k$, et dans ce cas $c^{k}$ fixe tous les $a_{i}$, donc $c^{k} = \mathrm{id}$. Ainsi $c^{k} = \mathrm{id}$ si et seulement si $p$ divise $k$.

Soit maintenant $\sigma = c_{1}\cdots c_{r}$ la décomposition de $\sigma$, où $c_{i}$ est de longueur $p_{i}$. Les $c_{i}$ commutent (théorème 1), donc $\sigma^{k} = c_{1}^{k}\cdots c_{r}^{k}$. Chaque $c_{j}^{k}$ fixe les éléments hors du support de $c_{j}$ et envoie ce support dans lui-même ; pour $x$ dans le support de $c_{i}$, tous les facteurs sauf $c_{i}^{k}$ fixent donc $x$ et $c_{i}^{k}(x)$, et $\sigma^{k}(x) = c_{i}^{k}(x)$. Par conséquent $\sigma^{k} = \mathrm{id}$ si et seulement si $c_{i}^{k} = \mathrm{id}$ pour tout $i$, c'est-à-dire si et seulement si $k$ est un multiple commun des $p_{i}$, ou encore un multiple de leur ppcm (chapitre 12). Le plus petit tel $k \geqslant 1$ est ce ppcm. $$\boxed{\text{ordre de } \sigma = \mathrm{ppcm}(p_{1}, \dots, p_{r})}$$

2. Soit $p_{1}$, …, $p_{r}$ les longueurs des cycles de $\sigma$, avec $p_{1} + \cdots + p_{r} \leqslant 10$ puisque les supports sont disjoints. Le nombre premier $7$ divise leur ppcm $14$, donc divise l'un des $p_{i}$ ; comme $p_{i} \leqslant 10$, ce $p_{i}$ vaut $7$. De même, l'un des $p_{j}$ est pair ; ce n'est pas le précédent, et il vaut au plus $10 - 7 = 3$, donc $p_{j} = 2$. Il reste au plus un élément, qui ne peut porter aucun autre cycle. Ainsi $\sigma$ est le produit d'un $7$-cycle et d'une transposition disjoints. $$\boxed{\varepsilon(\sigma) = (-1)^{6}(-1)^{1} = -1}$$

3. Par la question 1, il s'agit de maximiser le ppcm d'entiers $p_{1}$, …, $p_{r} \geqslant 2$ de somme au plus $10$. On majore ce ppcm par le produit des $p_{i}$, et l'on discute selon le nombre $r$ de cycles, qui vaut au plus $5$.

• Si $r = 1$, l'ordre vaut au plus $10$. Si $r = 2$, l'inégalité $4p_{1}p_{2} \leqslant (p_{1} + p_{2})^{2}$, qui équivaut à $(p_{1} - p_{2})^{2} \geqslant 0$, donne un ordre au plus égal à $p_{1}p_{2} \leqslant 25$.

• Si $r = 3$, les triplets $p_{1} \leqslant p_{2} \leqslant p_{3}$ possibles sont $(2, 2, k)$ pour $2 \leqslant k \leqslant 6$, $(2, 3, k)$ pour $3 \leqslant k \leqslant 5$, $(2, 4, 4)$, $(3, 3, 3)$ et $(3, 3, 4)$. Seuls $(2, 4, 4)$ et $(3, 3, 4)$ ont un produit supérieur à $30$, mais leurs ppcm valent $4$ et $12$. Le maximum, $30$, est atteint pour $(2, 3, 5)$.

• Si $r \geqslant 4$, les seules possibilités sont $(2, 2, 2, 2)$, $(2, 2, 2, 3)$, $(2, 2, 2, 4)$, $(2, 2, 3, 3)$ et $(2, 2, 2, 2, 2)$, de ppcm au plus $6$.

$$\boxed{\text{l'ordre maximal d'un élément de } \mathfrak{S}_{10} \text{ est } 30, \text{ atteint par exemple par } (1\ 2\ 3\ 4\ 5)(6\ 7\ 8)(9\ 10)}$$ Piège. L'ordre n'est pas la somme des longueurs, ni leur produit : deux cycles de longueurs $4$ et $6$ donnent une permutation d'ordre $12$, et non $24$. C'est pourquoi on a intérêt à choisir des longueurs premières entre elles.