Exercice 8

1. Notons $\rho = \sigma(a\ b)\sigma^{-1}$ et calculons $\rho(y)$ en écrivant $y = \sigma(x)$, ce qui est possible puisque $\sigma$ est bijective. On a $\rho(\sigma(x)) = \sigma\big((a\ b)(x)\big)$. Donc $\rho$ envoie $\sigma(a)$ sur $\sigma(b)$ et $\sigma(b)$ sur $\sigma(a)$, et si $y \notin \{\sigma(a), \sigma(b)\}$, alors $x \notin \{a, b\}$ et $\rho(y) = \sigma(x) = y$. $$\boxed{\sigma(a\ b)\sigma^{-1} = \big(\sigma(a)\ \ \sigma(b)\big)}$$

2. Le même calcul, avec $c = (a_{1}\ \cdots\ a_{p})$ et $\rho = \sigma c\sigma^{-1}$, donne $\rho(\sigma(a_{i})) = \sigma(a_{i + 1})$ pour $i < p$, $\rho(\sigma(a_{p})) = \sigma(a_{1})$, et $\rho(y) = y$ si $y$ n'est pas l'un des $\sigma(a_{i})$. Comme les $\sigma(a_{i})$ sont deux à deux distincts, $\rho$ est le cycle annoncé. $$\boxed{\sigma(a_{1}\ a_{2}\ \cdots\ a_{p})\sigma^{-1} = \big(\sigma(a_{1})\ \ \sigma(a_{2})\ \cdots\ \sigma(a_{p})\big)}$$

3. L'identité commute avec tout. Réciproquement, soit $\sigma$ dans le centre, et supposons $\sigma \neq \mathrm{id}$ : il existe $a$ tel que $b = \sigma(a) \neq a$. Comme $n \geqslant 3$, on peut choisir $c \notin \{a, b\}$. Alors $\sigma$ commute avec $(a\ c)$, et la question 1 donne $$(a\ c) = \sigma(a\ c)\sigma^{-1} = \big(\sigma(a)\ \ \sigma(c)\big) = \big(b\ \ \sigma(c)\big).$$ Deux transpositions égales ont le même support, donc $b \in \{a, c\}$, ce qui contredit le choix de $c$. Pour $n = 2$, le groupe $\mathfrak{S}_{2} = \{\mathrm{id}, (1\ 2)\}$ est commutatif, et son centre est $\mathfrak{S}_{2}$ tout entier. $$\boxed{\text{le centre de } \mathfrak{S}_{n} \text{ est } \{\mathrm{id}\} \text{ pour } n \geqslant 3, \qquad \text{et } \mathfrak{S}_{2} \text{ pour } n = 2}$$ À retenir. Conjuguer par $\sigma$, c'est renommer les éléments : on applique $\sigma$ à chacun des nombres écrits dans le cycle. Deux permutations conjuguées ont donc des décompositions de même forme. On rapprochera la question 3 de l'exercice 5 du chapitre 16 : le centre de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ y était réduit aux matrices scalaires, et l'argument consistait de même à tester la commutation avec des éléments très simples.