Exercice 4

1. On applique d'abord $(d\ a)$, puis $(c\ d)$, puis $(a\ b)$. L'élément $a$ devient $d$, puis $c$, puis reste $c$ ; l'élément $c$ reste $c$, devient $d$, puis reste $d$ ; l'élément $d$ devient $a$, reste $a$, puis devient $b$ ; enfin $b$ est fixé par les deux premiers facteurs, puis envoyé sur $a$. Les autres éléments sont fixes. $$\boxed{(a\ b)(c\ d)(d\ a) = (a\ c\ d\ b)}$$ Avec $(a, b, c, d) = (1, 2, 3, 4)$, on obtient $(1\ 3\ 4\ 2)$, ce que confirme le calcul direct ✓.

2. Soit $\sigma$ une permutation ayant au moins $n - 1$ points fixes, et $i$ un élément tel que tous les autres soient fixes. Si l'on avait $\sigma(i) = j \neq i$, alors $\sigma(j) = j = \sigma(i)$ contredirait l'injectivité de $\sigma$. Donc $\sigma(i) = i$. $$\boxed{\text{la seule permutation ayant au moins } n - 1 \text{ points fixes est } \mathrm{id}}$$ Autrement dit, une permutation différente de l'identité déplace au moins deux éléments, et les transpositions sont celles qui en déplacent exactement deux.

3. La réponse est non. La permutation $s = (1\ 2)(3\ 4)$, qui existe puisque $n \geqslant 4$, est produit de deux transpositions à supports disjoints, qui commutent : $s^{2} = (1\ 2)^{2}(3\ 4)^{2} = \mathrm{id}$. Elle est différente de l'identité, et elle déplace quatre éléments, donc n'est pas une transposition. $$\boxed{s = (1\ 2)(3\ 4) \text{ vérifie } s^{2} = \mathrm{id}, \ s \neq \mathrm{id}, \text{ et n'est pas une transposition}}$$ L'exercice 7 montrera que $s^{2} = \mathrm{id}$ et $s \neq \mathrm{id}$ équivaut à : tous les cycles de $s$ sont des transpositions.

4. On classe les permutations selon la forme de leur décomposition en cycles, et l'on garde celles dont la signature vaut $1$ (proposition 5). Dans $\mathfrak{S}_{3}$, les trois transpositions sont impaires, l'identité et les deux $3$-cycles sont pairs. Dans $\mathfrak{S}_{4}$, les $24$ permutations se répartissent en l'identité, $6$ transpositions (impaires), $8$ cycles de longueur $3$ (pairs : $4$ choix du point fixe, et $2$ cycles sur les trois autres éléments), $6$ cycles de longueur $4$ (impairs) et $3$ produits de deux transpositions disjointes (pairs) ; on vérifie que $1 + 6 + 8 + 6 + 3 = 24$. $$\boxed{\mathfrak{A}_{3} = \{\mathrm{id}, (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}}$$

$$\boxed{\begin{array}{ll} \mathfrak{A}_{4} : & \mathrm{id} \ ; \\ & (1\ 2\ 3), \ (1\ 3\ 2), \ (1\ 2\ 4), \ (1\ 4\ 2), \ (1\ 3\ 4), \ (1\ 4\ 3), \ (2\ 3\ 4), \ (2\ 4\ 3) \ ; \\ & (1\ 2)(3\ 4), \ (1\ 3)(2\ 4), \ (1\ 4)(2\ 3) \end{array}}$$ On retrouve $\frac{4!}{2} = 12$ éléments, comme l'annonce la remarque du cours sur le groupe alterné ✓.