Exercice 3

1. En suivant les images, $1 \mapsto 3 \mapsto 6 \mapsto 2 \mapsto 5 \mapsto 1$ et $4 \mapsto 7 \mapsto 4$. La proposition 3 écrit ensuite chaque cycle comme un produit de transpositions : $$\boxed{\sigma = (1\ 3\ 6\ 2\ 5)(4\ 7) = (1\ 3)(3\ 6)(6\ 2)(2\ 5)(4\ 7), \qquad \varepsilon(\sigma) = (-1)^{5} = -1}$$ La suite des images $3, 5, 6, 7, 1, 2, 4$ compte $2 + 3 + 3 + 3 = 11$ inversions, nombre impair ✓.

2. Notons $c = (1\ 3\ 6\ 2\ 5)$ et $\tau = (4\ 7)$. Ces cycles commutent (proposition 2), donc $\sigma^{k} = c^{k}\tau^{k}$, et ces deux permutations agissent sur des supports disjoints : $\sigma^{k} = \mathrm{id}$ si et seulement si $c^{k} = \mathrm{id}$ et $\tau^{k} = \mathrm{id}$, c'est-à-dire si et seulement si $5$ et $2$ divisent $k$. Comme $2001 = 200 \times 10 + 1$, on a $\sigma^{2001} = (\sigma^{10})^{200}\sigma = \sigma$. $$\boxed{\text{l'ordre de } \sigma \text{ est } 10, \qquad \sigma^{2001} = \sigma = (1\ 3\ 6\ 2\ 5)(4\ 7)}$$

3. On simplifie d'abord les facteurs : $(1\ 5\ 3)^{-1} = (3\ 5\ 1) = (1\ 3\ 5)$, et $(5\ 7\ 6)^{2}$ envoie $5$ sur $6$, $6$ sur $7$ et $7$ sur $5$, donc $(5\ 7\ 6)^{2} = (5\ 6\ 7)$. Ainsi $\sigma' = (1\ 3\ 2)(1\ 3\ 5)(5\ 6\ 7)(1\ 3\ 4\ 2)$, que l'on applique de droite à gauche. Par exemple, $7$ est fixé par $(1\ 3\ 4\ 2)$, envoyé sur $5$ par $(5\ 6\ 7)$, puis sur $1$ par $(1\ 3\ 5)$, puis sur $3$ par $(1\ 3\ 2)$ : $\sigma'(7) = 3$. On trouve de même la suite des images $5, 2, 4, 1, 6, 7, 3$. $$\boxed{\sigma' = (1\ 5\ 6\ 7\ 3\ 4) = (1\ 5)(5\ 6)(6\ 7)(7\ 3)(3\ 4), \qquad \varepsilon(\sigma') = (-1)^{5} = -1}$$ Le contrôle par les facteurs donne $1 \times 1 \times 1 \times (-1) = -1$ ✓, seul le $4$-cycle étant impair. Un $6$-cycle a pour ordre $6$ ; comme $100 = 16 \times 6 + 4$, on a $\sigma'^{100} = \sigma'^{4}$. Si $\sigma' = (a_{1}\ \cdots\ a_{6})$, la puissance $\sigma'^{4}$ envoie $a_{i}$ sur $a_{i + 4}$, les indices étant lus modulo $6$ : elle se décompose en $(a_{1}\ a_{5}\ a_{3})(a_{2}\ a_{6}\ a_{4})$. $$\boxed{\text{l'ordre de } \sigma' \text{ est } 6, \qquad \sigma'^{100} = \sigma'^{4} = (1\ 3\ 6)(4\ 7\ 5)}$$ Ce résultat est pair, comme il se doit : $\varepsilon(\sigma'^{4}) = \varepsilon(\sigma')^{4} = 1$ ✓.

Piège. L'inverse d'un cycle se lit à l'envers, $(1\ 5\ 3)^{-1} = (3\ 5\ 1)$, et non $(1\ 5\ 3)$ ; seules les transpositions sont leur propre inverse.