Exercice 2

La signature est un morphisme (théorème 2) : la signature d'un produit de cycles, disjoints ou non, est le produit de leurs signatures, et l'on n'a pas besoin de calculer le produit.

(i) Les deux transpositions contribuent chacune par $-1$, et le $3$-cycle par $1$. $$\boxed{\varepsilon\big((1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2)\big) = (-1) \times 1 \times (-1) = 1}$$ Vérifions-le en calculant le produit, de droite à gauche. L'élément $1$ est envoyé sur $2$ par $(1\ 2)$, puis $2$ sur $3$ par $(1\ 2\ 3)$, et $3$ est fixé par $(1\ 2)$ : l'image de $1$ est $3$. De même, $3 \mapsto 3 \mapsto 1 \mapsto 2$ et $2 \mapsto 1 \mapsto 2 \mapsto 1$, tandis que les éléments de $[\![4\,;9]\!]$ sont fixes. $$\boxed{(1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2) = (1\ 3\ 2)}$$ C'est un $3$-cycle, donc une permutation paire ✓. On retrouvera ce résultat à l'exercice 8 : conjuguer $(1\ 2\ 3)$ par $(1\ 2)$ revient à échanger les noms $1$ et $2$ dans l'écriture du cycle, ce qui donne $(2\ 1\ 3) = (1\ 3\ 2)$.

(ii) C'est un cycle de longueur $8$. $$\boxed{\varepsilon\big((2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9)\big) = (-1)^{7} = -1}$$

(iii) Le produit contient deux transpositions, $(1\ 2)$ et $(2\ 5)$, deux $4$-cycles, $(2\ 4\ 6\ 5)$ et $(3\ 5\ 6\ 1)$, qui sont impairs, et trois $3$-cycles, qui sont pairs. Il y a donc quatre facteurs impairs. $$\boxed{\varepsilon = (-1)^{4} = 1}$$ Le calcul effectif, plus long, donne le $7$-cycle $(1\ 4\ 3\ 6\ 7\ 2\ 5)$, qui est bien pair ✓.

(iv) Les cycles $(1\ 2\ 3)$, $(1\ 6\ 7\ 8\ 9)$ et $(1\ 5\ 9)$, de longueurs impaires, sont pairs ; seule la transposition $(4\ 5)$ est impaire. $$\boxed{\varepsilon = -1}$$ Le produit vaut $(1\ 4\ 5\ 2\ 3)(6\ 7\ 8\ 9)$, de signature $1 \times (-1) = -1$ ✓.

À retenir. Les cycles d'un produit quelconque ne sont pas à supports disjoints : on ne peut pas y lire la décomposition de la permutation. On peut en revanche toujours y lire sa signature, parce que la signature est un morphisme.