Exercice 1

On applique la méthode du cours : on part du plus petit élément non fixé, on suit ses images successives jusqu'à revenir à lui, puis on recommence avec le plus petit élément non encore rencontré. Pour $\sigma_{1}$, on lit $1 \mapsto 5 \mapsto 2 \mapsto 4 \mapsto 6 \mapsto 8 \mapsto 1$, puis $3 \mapsto 9 \mapsto 3$, et $7$ est fixe. Les trois autres se traitent de même. La signature s'obtient alors par la proposition 5 (ii) : un cycle de longueur $p$ contribue par $(-1)^{p - 1}$. $$\boxed{\sigma_{1} = (1\ 5\ 2\ 4\ 6\ 8)(3\ 9), \quad \varepsilon(\sigma_{1}) = 1} \qquad \boxed{\sigma_{2} = (1\ 7\ 5\ 3)(2\ 9)(4\ 6), \quad \varepsilon(\sigma_{2}) = -1}$$

$$\boxed{\sigma_{3} = (2\ 7\ 4\ 8\ 9)(3\ 6\ 5), \quad \varepsilon(\sigma_{3}) = 1} \qquad \boxed{\sigma_{4} = (1\ 2)(3\ 5)(8\ 9), \quad \varepsilon(\sigma_{4}) = -1}$$ Ainsi $\varepsilon(\sigma_{1}) = (-1)^{5}(-1)^{1}$, $\varepsilon(\sigma_{2}) = (-1)^{3}(-1)(-1)$, $\varepsilon(\sigma_{3}) = (-1)^{4}(-1)^{2}$ et $\varepsilon(\sigma_{4}) = (-1)^{3}$. Le comptage des inversions, plus long, donne respectivement $22$, $21$, $18$ et $5$ inversions, et confirme les quatre signatures ✓. Les décompositions donnent aussi l'ordre de chaque permutation, qui est le ppcm des longueurs des cycles (exercice 7) : $6$, $4$, $15$ et $2$.

Piège. L'erreur la plus répandue est d'attribuer à un cycle de longueur $p$ la signature $(-1)^{p}$ : le cycle $(3\ 6\ 5)$ de $\sigma_{3}$ est pair, puisqu'il s'écrit avec deux transpositions.