Exercice 17

1. On applique d'abord $(a\ c)$, puis $(a\ b)$ : l'élément $a$ va en $c$, puis reste en $c$ ; $c$ va en $a$, puis en $b$ ; $b$ reste en $b$, puis va en $a$. Pour le second produit, on intercale $(b\ c)(b\ c) = \mathrm{id}$, et l'on applique deux fois la proposition 3, qui donne $(a\ b)(b\ c) = (a\ b\ c)$ et $(b\ c)(c\ d) = (b\ c\ d)$. $$\boxed{(a\ b)(a\ c) = (a\ c\ b), \qquad (a\ b)(c\ d) = (a\ b)(b\ c)\,(b\ c)(c\ d) = (a\ b\ c)(b\ c\ d)}$$ Avec $(a, b, c, d) = (1, 2, 3, 4)$, on vérifie que $(1\ 2\ 3)(2\ 3\ 4)$ envoie $1$ sur $2$, $2$ sur $1$, $3$ sur $4$ et $4$ sur $3$ ✓.

2. Soit $\sigma$ une permutation paire. Par la proposition 5 (i), toute écriture de $\sigma$ comme produit de transpositions en comporte un nombre pair, $\sigma = \tau_{1}\tau_{2}\cdots\tau_{2m - 1}\tau_{2m}$, et l'on groupe les facteurs deux par deux. Pour chaque paire $\tau_{2i - 1}\tau_{2i}$, trois cas se présentent : les deux transpositions sont égales, et leur produit vaut $\mathrm{id}$ ; elles ont exactement un élément commun, et on les écrit $(a\ b)(a\ c)$, ce qui est un $3$-cycle par la question 1 ; elles sont à supports disjoints, et la question 1 en fait un produit de deux $3$-cycles. Enfin, l'identité est le produit vide, ou $(1\ 2\ 3)^{3}$ puisque $n \geqslant 3$. $$\boxed{\text{toute permutation paire est un produit de cycles de longueur } 3}$$

3. Un cycle de longueur $3$ a pour signature $(-1)^{2} = 1$ (proposition 5), et la signature est un morphisme (théorème 2) : un produit de $3$-cycles est pair. $$\boxed{\text{non : } \mathfrak{A}_{n} \text{ est exactement l'ensemble des produits de cycles de longueur } 3}$$ Piège. On aurait pu croire que les $3$-cycles, plus « gros » que les transpositions, engendrent davantage de permutations ; c'est le contraire, puisqu'ils n'atteignent que la moitié de $\mathfrak{S}_{n}$. L'erreur vient encore de la confusion entre la longueur $p$ d'un cycle et sa parité, qui est celle de $p - 1$.