Exercice 18

1. Par le théorème 4, la famille est une base si et seulement si son déterminant dans la base canonique est non nul. On ajoute à la première colonne les deux autres, ce qui ne change pas le déterminant (proposition 10), et l'on factorise $t + 2$ par linéarité ; on retranche ensuite la troisième ligne aux deux premières : $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & t \\ 1 & t & 1 \\ t & 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} t + 2 & 1 & t \\ t + 2 & t & 1 \\ t + 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (t + 2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & t \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (t + 2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & t - 1 \\ 0 & t - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.$$ Le développement par rapport à la première colonne (théorème 7) ne laisse que le terme du coefficient d'indice $(3, 1)$ : $$\begin{vmatrix} 0 & 0 & t - 1 \\ 0 & t - 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times (-1)^{3 + 1}\begin{vmatrix} 0 & t - 1 \\ t - 1 & 0 \end{vmatrix} = -(t - 1)^{2}.$$

$$\boxed{\det(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = -(t - 1)^{2}(t + 2), \qquad (e_{1}, e_{2}, e_{3}) \text{ base de } \mathbb{R}^{3} \iff t \notin \{1, -2\}}$$ Pour $t = 0$, la formule donne $-2$ ; la règle de Sarrus, appliquée aux colonnes $(1, 1, 0)$, $(1, 0, 1)$ et $(0, 1, 1)$, donne $0 + 0 + 0 - 0 - 1 - 1 = -2$ ✓.

2. Pour $t = 1$, les trois vecteurs sont égaux à $(1, 1, 1)$, non nul. Pour $t = -2$, la somme $e_{1} + e_{2} + e_{3}$ est nulle, et $e_{1} = (1, 1, -2)$, $e_{2} = (1, -2, 1)$ ne sont pas colinéaires, la famille est donc de rang au moins $2$. $$\boxed{\mathrm{rg}(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1 \text{ pour } t = 1, \qquad \mathrm{rg}(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 2 \text{ pour } t = -2}$$ À retenir. Le déterminant détecte les valeurs exclues, mais ne donne pas le rang : un déterminant nul dit seulement que le rang est inférieur à $3$. On remarquera que la racine double $t = 1$ correspond à la chute de rang la plus forte ; c'est un phénomène fréquent, mais ce n'est pas une règle.