Exercice 19

On écrit $\det B$ comme déterminant d'une famille de colonnes, et l'on effectue des opérations sur les colonnes (proposition 10). On ajoute d'abord à la première colonne toutes les autres : elle devient $\sum_{j}(S - A_{j}) = nS - S = (n - 1)S$, et l'on factorise $n - 1$ par linéarité. On retranche ensuite cette première colonne, égale à $S$, à chacune des autres, puis on factorise les $n - 1$ signes $-1$ : $$\det B = (n - 1)\det(S, S - A_{2}, \dots, S - A_{n}) = (n - 1)\det(S, -A_{2}, \dots, -A_{n}),$$

$$\det B = (-1)^{n - 1}(n - 1)\det(S, A_{2}, \dots, A_{n}).$$ Enfin, on retranche $A_{2} + \cdots + A_{n}$ à la première colonne, ce qui ne change pas le déterminant (proposition 6 (iv)) et la remplace par $A_{1}$. $$\boxed{\det B = (-1)^{n - 1}(n - 1)\det A}$$ Pour $n = 2$, la matrice $B$ a pour colonnes $A_{2}$ et $A_{1}$, et l'on retrouve $\det B = -\det A$ ✓.

À retenir. Matriciellement, $B = A(J - I_{n})$, car la $j$-ième colonne de $A(J - I_{n})$ est la somme des $A_{i}$ pour $i \neq j$. Le théorème 6 donne alors $\det B = \det(A)\det(J - I_{n})$, et le calcul ci-dessus, appliqué à $A = I_{n}$, fournit $\det(J - I_{n}) = (-1)^{n - 1}(n - 1)$. On reconnaît l'astuce, déjà rencontrée au chapitre 16 avec $J^{2} = nJ$, qui consiste à faire apparaître la somme de toutes les colonnes.