Exercice 26

Les matrices $A$ et $I_{3}$ commutent, et l'on peut développer comme dans un anneau commutatif : $$(3A - 6I_{3})^{2} = 9A^{2} - 36A + 36I_{3} = 9(4A - 3I_{3}) - 36A + 36I_{3} = 9I_{3}.$$ Par le théorème 6 (i), $\det(3A - 6I_{3})^{2} = \det(9I_{3}) = 9^{3} = 729$, donc $\det(3A - 6I_{3}) \in \{-27, 27\}$, et l'hypothèse de signe conclut. $$\boxed{\det(3A - 6I_{3}) = 27}$$ Piège. L'hypothèse de signe n'est pas décorative. La matrice $A = I_{3}$ vérifie $A^{2} = 4A - 3I_{3}$, et $\det(3A - 6I_{3}) = \det(-3I_{3}) = -27$ ; la matrice $A = 3I_{3}$ la vérifie aussi, et donne $\det(3I_{3}) = 27$. On n'oubliera pas non plus que $\det(9I_{3}) = 9^{3}$, et non $9$ : c'est l'erreur $\det(\lambda A) = \lambda\det A$ signalée dans le cours.