Exercice 25

1. Multiplier $A$ à gauche par $T$ agit sur ses lignes (proposition 16 du chapitre 16) : la première ligne est conservée, la deuxième devient $3L_{1} + L_{2}$ et la troisième $-2L_{2} + L_{3}$. Le produit est triangulaire supérieur, et la proposition 11 (i) donne son déterminant. $$\boxed{B = TA = \begin{pmatrix} 1 & -10 & 11 \\ 0 & -24 & 38 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \qquad \det B = 1 \times (-24) \times (-2) = 48}$$

2. La matrice $T$ est triangulaire de diagonale $(1, 1, 1)$, donc $\det T = 1$. Le théorème 6 (i) donne $\det B = \det(T)\det(A) = \det A$. $$\boxed{\det A = 48}$$

3. On compare les colonnes de $C$ à celles de $A$ : $$C_{1} = (3, -9, -18) = 3A_{1}, \qquad C_{2} = (5, -3, -6) = -\frac{1}{2}A_{2}, \qquad C_{3} = (55, 25, 40) = 5A_{3}.$$ Autrement dit, $C = A\,\mathrm{diag}\big(3, -\frac{1}{2}, 5\big)$, et la linéarité par rapport à chaque colonne (proposition 10 (ii)) donne $$\boxed{\det C = 3 \times \Big(-\frac{1}{2}\Big) \times 5 \times \det A = -360}$$ À retenir. Une multiplication à gauche par une matrice triangulaire de diagonale $1$ est une suite d'opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} + \lambda L_{j}$ : elle ne change pas le déterminant. C'est exactement la méthode du pivot.