Exercice 24

On note $M(x_{1}, \dots, x_{n})$ la matrice $\big(f_{i}(x_{j})\big)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$, dont la ligne $i$ contient les valeurs de $f_{i}$ aux points $x_{1}$, …, $x_{n}$.

Sens réciproque. Soit $x_{1}$, …, $x_{n}$ tels que $M = M(x_{1}, \dots, x_{n})$ ait un déterminant non nul, et $\lambda_{1}$, …, $\lambda_{n}$ des réels tels que $\sum_{i}\lambda_{i}f_{i} = 0$. En évaluant cette égalité de fonctions en chaque $x_{j}$, on obtient $\sum_{i}\lambda_{i}f_{i}(x_{j}) = 0$ pour tout $j$, c'est-à-dire ${M}^{T}\Lambda = 0$, où $\Lambda$ est la colonne des $\lambda_{i}$. Or $\det{M}^{T} = \det M \neq 0$ (théorème 6), donc ${M}^{T}$ est inversible et $\Lambda = 0$ : la famille est libre.

Sens direct. On raisonne par récurrence sur $n$. Si $n = 1$, la famille $(f_{1})$ est libre, donc $f_{1}$ n'est pas la fonction nulle, et il existe $x_{1}$ tel que $f_{1}(x_{1}) \neq 0$. Soit $n \geqslant 2$, et supposons le résultat vrai pour $n - 1$ fonctions. Si $(f_{1}, \dots, f_{n})$ est libre, la sous-famille $(f_{1}, \dots, f_{n - 1})$ l'est aussi, et l'hypothèse de récurrence fournit $x_{1}$, …, $x_{n - 1}$ tels que $\Delta = \det\big(f_{i}(x_{j})\big)_{1 \leqslant i, j \leqslant n - 1} \neq 0$. On pose, pour $x \in \mathbb{R}$, $$g(x) = \det M(x_{1}, \dots, x_{n - 1}, x) = \sum_{i = 1}^{n} f_{i}(x)\,C_{in},$$ en développant par rapport à la dernière colonne (théorème 7). Les cofacteurs $C_{in}$ ne dépendent pas de $x$, puisqu'on a supprimé la colonne qui le contient ; et $C_{nn} = (-1)^{2n}\Delta = \Delta \neq 0$. Ainsi $g = \sum_{i}C_{in}f_{i}$ est une combinaison linéaire des $f_{i}$ dont le coefficient de $f_{n}$ est non nul ; la famille étant libre, $g$ n'est pas la fonction nulle, et il existe $x_{n}$ tel que $g(x_{n}) \neq 0$. $$\boxed{(f_{1}, \dots, f_{n}) \text{ libre} \iff \exists (x_{1}, \dots, x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}, \ \det\big(f_{i}(x_{j})\big)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \neq 0}$$ Piège. Les points dépendent de la famille, et il ne suffit pas d'en prendre « au hasard ». Les fonctions $\sin$ et $x \mapsto \sin(2x)$ forment une famille libre, mais aux points $0$ et $\pi$ elles s'annulent toutes deux, et le déterminant est nul ; aux points $\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{4}$, il vaut $1 \times 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \times 0 = 1$.

À retenir. Pour les fonctions $1$, $x$, …, $x^{n - 1}$, la matrice $\big(f_{i}(x_{j})\big)$ est la transposée d'une matrice de Vandermonde (proposition 12), et tout choix de points distincts convient. Le résultat ramène une question en dimension infinie, la liberté dans l'espace des fonctions, à un calcul de déterminant en dimension $n$.