Exercice 23

1. On note $f_{k} = f(x_{k})$. Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ ne changent pas le déterminant, et le développement par rapport à la troisième colonne, qui ne contient plus qu'un coefficient non nul, en position $(1, 3)$, donne $$D = \begin{vmatrix} x_{1} & f_{1} & 1 \\ x_{2} - x_{1} & f_{2} - f_{1} & 0 \\ x_{3} - x_{1} & f_{3} - f_{1} & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x_{2} - x_{1} & f_{2} - f_{1} \\ x_{3} - x_{1} & f_{3} - f_{1} \end{vmatrix} = (x_{2} - x_{1})(f_{3} - f_{1}) - (x_{3} - x_{1})(f_{2} - f_{1}).$$ On met en facteur $(x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1})$, et l'on note $p_{1k} = \frac{f_{k} - f_{1}}{x_{k} - x_{1}}$ la pente de la corde $[M_{1}M_{k}]$. $$\boxed{D(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1})\,(p_{13} - p_{12})}$$ Pour $f(x) = x^{2}$ et $(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (0, 1, 2)$, on trouve $p_{12} = 1$, $p_{13} = 2$ et $D = 1 \times 2 \times 1 = 2$, ce que confirme le calcul direct du déterminant ✓.

2. Comme $(x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1}) > 0$, on a $D \geqslant 0$ si et seulement si $p_{12} \leqslant p_{13}$. Posons $$\lambda = \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}} \in \,]0\,,1[, \qquad\text{de sorte que}\qquad x_{2} = (1 - \lambda)x_{1} + \lambda x_{3}.$$ En multipliant par $x_{2} - x_{1} > 0$, l'inégalité $p_{12} \leqslant p_{13}$ s'écrit $f_{2} - f_{1} \leqslant \lambda(f_{3} - f_{1})$, soit $$f(x_{2}) \leqslant (1 - \lambda)f(x_{1}) + \lambda f(x_{3}) :$$ c'est l'inégalité de convexité au point $x_{2}$ du segment $[x_{1}\,,x_{3}]$. Comme tout point intérieur d'un segment s'écrit ainsi, la condition pour tous $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ équivaut à la convexité de $f$ ; c'est la première inégalité du lemme des trois pentes (proposition 8 du chapitre 9). $$\boxed{\big(\forall x_{1} < x_{2} < x_{3} \text{ dans } I, \ D(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \geqslant 0\big) \iff f \text{ est convexe sur } I}$$

3. Le déterminant d'ordre $2$ obtenu à la question 1 est $\det\big(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}, \overrightarrow{M_{1}M_{3}}\big)$, calculé dans la base canonique de $\mathbb{R}^{2}$, puisque ces vecteurs ont pour coordonnées $(x_{2} - x_{1}, f_{2} - f_{1})$ et $(x_{3} - x_{1}, f_{3} - f_{1})$. D'après les remarques du cours qui suivent le théorème 4, son signe indique l'orientation de la base $\big(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}, \overrightarrow{M_{1}M_{3}}\big)$, et sa valeur absolue est l'aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs, double de celle du triangle. $$\boxed{D > 0 \iff \text{le triangle } M_{1}M_{2}M_{3} \text{ est parcouru dans le sens trigonométrique}}$$

$$\boxed{|D| = 2 \times \text{aire du triangle } M_{1}M_{2}M_{3}}$$ Ainsi $f$ est convexe si et seulement si, pour tous $x_{1} < x_{2} < x_{3}$, le triangle $M_{1}M_{2}M_{3}$ est direct ou aplati : le point $M_{2}$ est sous la corde $[M_{1}M_{3}]$, et l'on tourne vers la gauche en allant de $M_{1}$ à $M_{3}$ par $M_{2}$. Dans l'exemple de la question 1, le triangle de sommets $(0, 0)$, $(1, 1)$ et $(2, 4)$ est direct et d'aire $1$.

À retenir. L'alignement de trois points s'écrit $D = 0$, et la convexité $D \geqslant 0$ : le déterminant transforme une propriété géométrique en une inégalité algébrique, sans aucune hypothèse de dérivabilité.