Exercice 22

1. Notons $T_{k}(x_{1}, \dots, x_{n})$ le $k$-ième terme de la somme. Il est linéaire par rapport à $x_{k}$, par linéarité de $u$ et de $\det\nolimits_{e}$ par rapport à la $k$-ième place, et linéaire par rapport à chaque $x_{j}$ avec $j \neq k$, par linéarité de $\det\nolimits_{e}$. Chaque $T_{k}$, donc aussi la somme $\varphi$, est $n$-linéaire.

Supposons $x_{i} = x_{j} = x$, avec $i < j$. Si $k \notin \{i, j\}$, le terme $T_{k}$ contient deux vecteurs égaux aux places $i$ et $j$, et il est nul. Il reste $$T_{i} + T_{j} = \det\nolimits_{e}(\dots, \underbrace{u(x)}_{i}, \dots, \underbrace{x}_{j}, \dots) + \det\nolimits_{e}(\dots, \underbrace{x}_{i}, \dots, \underbrace{u(x)}_{j}, \dots) = 0,$$ car les deux familles se déduisent l'une de l'autre en échangeant les vecteurs des places $i$ et $j$, ce qui change le déterminant en son opposé (proposition 6 (i)). $$\boxed{\varphi \text{ est une forme } n\text{-linéaire alternée sur } E}$$

2. Par le théorème 3 (iii), $\varphi = \varphi(e_{1}, \dots, e_{n})\det\nolimits_{e}$. Soit $A = (a_{ij})$ la matrice de $u$ dans la base $e$, de sorte que $u(e_{k}) = \sum_{i}a_{ik}e_{i}$. Dans $\det\nolimits_{e}\big(e_{1}, \dots, u(e_{k}), \dots, e_{n}\big)$, seul le terme $a_{kk}e_{k}$ de $u(e_{k})$ donne une contribution non nulle, les autres répétant un vecteur $e_{i}$ déjà présent ; ce déterminant vaut donc $a_{kk}$. $$\varphi(e_{1}, \dots, e_{n}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{kk} = \operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(u), \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\varphi = \operatorname{tr}(u)\det\nolimits_{e}}$$ La trace de $u$ est celle de sa matrice dans n'importe quelle base (chapitre 16) ; le résultat ne dépend donc pas de la base $e$ choisie. Un calcul symbolique pour $n = 3$, avec $u$ et $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ quelconques, confirme l'identité ✓.

À retenir. Pour $t \in \mathbb{K}$, on développe par multilinéarité, en choisissant à chaque place $x_{k}$ ou $tu(x_{k})$ ; les termes où $u$ apparaît exactement une fois forment $t\,\varphi(x_{1}, \dots, x_{n})$ : $$\det\nolimits_{e}\big(x_{1} + tu(x_{1}), \dots, x_{n} + tu(x_{n})\big) = \det\nolimits_{e}(x_{1}, \dots, x_{n}) + t\,\varphi(x_{1}, \dots, x_{n}) + \sum_{k = 2}^{n} t^{k}(\cdots).$$ Avec $x = e$ et la proposition 8, on obtient que $\det(\mathrm{id}_{E} + tu)$ est un polynôme en $t$ de la forme $1 + \operatorname{tr}(u)\,t + \cdots$ : la trace est le terme du premier ordre du déterminant au voisinage de l'identité.