Exercice 21

La famille compte $n + 1$ vecteurs de $\mathbb{C}_{n}[X]$, qui est de dimension $n + 1$ : par le théorème 4, il suffit de montrer que son déterminant dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n})$ est non nul. La formule du binôme donne $$(X - z_{k})^{n} = \sum_{j = 0}^{n}\binom{n}{j}(-z_{k})^{n - j}X^{j},$$ de sorte que la matrice $M$ de la famille, dont on numérote les lignes et les colonnes de $0$ à $n$, a pour coefficients $m_{jk} = \binom{n}{j}(-z_{k})^{n - j}$. On procède en trois étapes, avec $w_{k} = -z_{k}$.

• La ligne $j$ contient le facteur $\binom{n}{j}$, que l'on sort par linéarité (proposition 10 et théorème 6 (iv)) : $\det M = \prod_{j = 0}^{n}\binom{n}{j} \times \det(w_{k}^{n - j})_{j, k}$.

• On renverse l'ordre des $n + 1$ lignes. La permutation qui renverse l'ordre de $n + 1$ éléments a pour signature $(-1)^{n(n + 1)/2}$ (exemple du cours), d'où, par la proposition 6 (ii) appliquée aux lignes, $\det(w_{k}^{n - j})_{j, k} = (-1)^{n(n + 1)/2}\det(w_{k}^{j})_{j, k}$.

• La matrice $(w_{k}^{j})_{j, k}$ est la transposée de la matrice de Vandermonde de $w_{0}$, …, $w_{n}$. Par la proposition 12, son déterminant vaut $\prod_{i < j}(w_{j} - w_{i}) = \prod_{i < j}(z_{i} - z_{j})$, produit de $\frac{n(n + 1)}{2}$ facteurs, égal à $(-1)^{n(n + 1)/2}\prod_{i < j}(z_{j} - z_{i})$.

Les deux signes $(-1)^{n(n + 1)/2}$ se compensent. $$\boxed{\det\big((X - z_{0})^{n}, \dots, (X - z_{n})^{n}\big) = \prod_{j = 0}^{n}\binom{n}{j} \prod_{0 \leqslant i < j \leqslant n}(z_{j} - z_{i}) \neq 0}$$ Il est non nul puisque les $z_{i}$ sont deux à deux distincts : la famille est une base de $\mathbb{C}_{n}[X]$. Pour $n = 1$, la matrice $\begin{pmatrix} -z_{0} & -z_{1} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ a pour déterminant $z_{1} - z_{0}$ ✓, et un calcul symbolique confirme la formule jusqu'à $n = 4$.

À retenir. Tout polynôme de degré au plus $n$ est donc combinaison de puissances $n$-ièmes de polynômes de degré $1$. Par exemple, pour $n = 2$ et $(z_{0}, z_{1}, z_{2}) = (0, 1, -1)$, on a $X = \frac{1}{4}\big((X + 1)^{2} - (X - 1)^{2}\big)$. Le déterminant de Vandermonde intervient parce que les coordonnées de $(X - z_{k})^{n}$ sont, aux coefficients binomiaux près, les puissances successives de $-z_{k}$.