Exercice 27

Condition nécessaire. Si $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ vérifie $M^{2} = -I_{n}$, alors, par le théorème 6 (i), $$(\det M)^{2} = \det(-I_{n}) = (-1)^{n}.$$ Le nombre $\det M$ est réel, donc son carré est positif : $(-1)^{n} = 1$, et $n$ est pair.

Condition suffisante. Si $n = 2m$, on pose $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, qui vérifie $R^{2} = -I_{2}$, et l'on note $M$ la matrice diagonale par blocs formée de $m$ blocs égaux à $R$. Le produit par blocs (chapitre 16) donne $M^{2}$ diagonale par blocs, de blocs $R^{2} = -I_{2}$, c'est-à-dire $M^{2} = -I_{n}$. $$\boxed{\exists M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \ M^{2} = -I_{n} \iff n \text{ pair}}$$

Cas complexe. Le résultat ne subsiste pas : la matrice $M = \mathrm{i} I_{n}$ vérifie $M^{2} = -I_{n}$ pour tout $n$. L'argument précédent tombe, puisqu'un nombre complexe peut avoir un carré égal à $-1$. $$\boxed{\text{dans } \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}), \ M = \mathrm{i} I_{n} \text{ convient pour tout } n \geqslant 1}$$ À retenir. La matrice $R$ est celle de la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$, et l'on retrouve en une ligne le résultat de l'exercice 38 du chapitre 16, qui demandait tout un raisonnement sur les plans stables pour la dimension $3$.