Exercice 28

1. Dans chaque cas, $u$ est linéaire et ne fait pas monter le degré ; on écrit sa matrice dans la base canonique $(1, X, \dots, X^{n})$, et l'on utilise la proposition 9 (ii) : $\det u$ est le déterminant de cette matrice.

(a) On a $u(X^{k}) = X^{k} + kX^{k - 1}$ : la matrice est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux tous égaux à $1$. $$\boxed{\det u = 1}$$

(b) La formule du binôme donne $u(X^{k}) = (X + 1)^{k} - X^{k} = \sum_{i = 0}^{k - 1}\binom{k}{i}X^{i}$, de degré $k - 1$ : la matrice est triangulaire supérieure à diagonale nulle. On peut aussi remarquer que $u(1) = 0$, de sorte que $u$ n'est pas injectif (théorème 5 (iii)). $$\boxed{\det u = 0}$$

(c) On a $u(1) = 0 + 1 = 1$ et, pour $k \geqslant 1$, $u(X^{k}) = kX^{k} + 1$. La matrice a une première ligne formée de $1$, des coefficients diagonaux $1, 1, 2, \dots, n$, et des zéros partout ailleurs : elle est triangulaire supérieure. $$\boxed{\det u = 1 \times 1 \times 2 \times \cdots \times n = n!}$$

2. L'application $\Phi : P \mapsto \big(x \mapsto P(x)\mathrm{e}^{x}\big)$, de $\mathbb{R}_{n}[X]$ dans l'espace des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, est linéaire. Elle est injective : si $P(x)\mathrm{e}^{x} = 0$ pour tout réel $x$, le polynôme $P$ a une infinité de racines, donc il est nul (chapitre 13). Son image $E$ est donc un sous-espace vectoriel de dimension $n + 1$, de base $(f_{0}, \dots, f_{n})$ avec $f_{k}(x) = x^{k}\mathrm{e}^{x}$.

Pour $f = \Phi(P)$, on a $f'(x) = \big(P'(x) + P(x)\big)\mathrm{e}^{x}$, donc $f' = \Phi(P + P') \in E$ : la dérivation $D$, linéaire, est un endomorphisme de $E$, et $D \circ \Phi = \Phi \circ u$, où $u$ est l'endomorphisme du cas (a). La matrice de $D$ dans la base $(f_{k})$ est donc celle de $u$ dans la base $(X^{k})$. $$\boxed{\det D = 1}$$ À retenir. Un isomorphisme qui transporte un endomorphisme sur un autre transporte aussi sa matrice, donc son déterminant. Comme $\det D \neq 0$, la dérivation est bijective sur $E$ : toute fonction $x \mapsto P(x)\mathrm{e}^{x}$ a une unique primitive de la même forme, ce que l'exercice 23 du chapitre 16 avait obtenu en inversant la matrice.