Exercice 29

1. L'application $\varphi$ est linéaire, et $P(1 - X)$ a le même degré que $P$ : c'est un endomorphisme de $\mathbb{R}_{n}[X]$. On a $\varphi\big(\varphi(P)\big) = P\big(1 - (1 - X)\big) = P$, donc $\varphi^{2} = \mathrm{id}$ : $\varphi$ est une symétrie (chapitre 14).

La formule du binôme donne $\varphi(X^{j}) = (1 - X)^{j} = \sum_{i = 0}^{j}\binom{j}{i}(-1)^{i}X^{i}$ : la matrice de $\varphi$ dans la base canonique est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux $(-1)^{j}$, pour $j \in [\![0\,;n]\!]$. On en déduit $$\boxed{\operatorname{tr}\varphi = \sum_{j = 0}^{n}(-1)^{j} = \begin{cases} 1 & \text{si } n \text{ est pair} \\ 0 & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}, \qquad \det\varphi = \prod_{j = 0}^{n}(-1)^{j} = (-1)^{\frac{n(n + 1)}{2}}}$$

2. Si $P = \sum_{k = 0}^{n}a_{k}X^{k}$, alors $\psi(P) = \sum_{k = 0}^{n}a_{k}X^{n - k}$ : l'application $\psi$ est linéaire, envoie $\mathbb{R}_{n}[X]$ dans lui-même, et vérifie $\psi(X^{k}) = X^{n - k}$. En l'appliquant deux fois, on revient à $X^{k}$ : $\psi^{2} = \mathrm{id}$, et $\psi$ est une symétrie.

Base diagonalisante. Une symétrie est la symétrie par rapport à $F = \mathrm{Ker}\,(\psi - \mathrm{id})$ parallèlement à $G = \mathrm{Ker}\,(\psi + \mathrm{id})$, et $\mathbb{R}_{n}[X] = F \oplus G$ (chapitre 14). Dans une base adaptée à cette somme directe, la matrice de $\psi$ est diagonale, de coefficients $1$ (sur $F$) et $-1$ (sur $G$). $$\boxed{\text{oui : dans une base adaptée à } F \oplus G, \ \mathrm{Mat}(\psi) = \mathrm{diag}(1, \dots, 1, -1, \dots, -1)}$$

Valeurs a priori. Le premier exemple du cours après le théorème 5 donne alors $\det\psi = (-1)^{\dim G}$ ; on le voit aussi par $(\det\psi)^{2} = \det(\psi^{2}) = 1$. A priori, $\det\psi \in \{-1, 1\}$.

Calcul. Les polynômes $X^{k} + X^{n - k}$, pour $0 \leqslant k < \frac{n}{2}$, et $X^{n/2}$ lorsque $n$ est pair, sont dans $F$ ; les polynômes $X^{k} - X^{n - k}$, pour $0 \leqslant k < \frac{n}{2}$, sont dans $G$. Ils engendrent tous les $X^{k}$, puisque $X^{k} = \frac{1}{2}\big[(X^{k} + X^{n - k}) + (X^{k} - X^{n - k})\big]$, et ils sont au nombre de $n + 1$ : ils forment une base de $\mathbb{R}_{n}[X]$, adaptée à $F \oplus G$. On en compte $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor + 1$ dans $F$, et $n - \lfloor\frac{n}{2}\rfloor = \lceil\frac{n}{2}\rceil$ dans $G$. $$\boxed{\dim F = \Big\lfloor\frac{n}{2}\Big\rfloor + 1, \qquad \det\psi = (-1)^{\lceil n/2\rceil} = (-1)^{\frac{n(n + 1)}{2}}}$$ Contrôle. Dans la base canonique, la matrice de $\psi$ est la matrice de la permutation qui renverse l'ordre des $n + 1$ vecteurs de base. Par la formule du déterminant, seul le terme de cette permutation est non nul, et le cours a calculé sa signature : $(-1)^{(n + 1)n/2}$. On vérifie aussi l'égalité des deux exposants modulo $2$ pour $n = 0, 1, 2, 3$, qui donnent $0, 1, 3, 6$ et $0, 1, 1, 2$, puis la périodicité de période $4$. ✓

À retenir. Pour une symétrie, $\det = (-1)^{\dim G}$ et $\operatorname{tr} = \dim F - \dim G$ : la trace et le déterminant se lisent sur les dimensions des deux sous-espaces. Les symétries $\varphi$ et $\psi$ ont ici la même trace, $1$ ou $0$ selon la parité de $n$ ; comme $\dim F + \dim G = n + 1$, elles ont les mêmes dimensions $\dim F$ et $\dim G$, donc le même déterminant.