Exercice 30

On note $T : A \mapsto {A}^{T}$, $L_{M} : A \mapsto MA$ et $R_{M} : A \mapsto AM$ ; ces trois applications sont linéaires.

Transposition. L'application $T$ vérifie $T^{2} = \mathrm{id}$ : c'est la symétrie par rapport à $\mathcal{S}_{n}(\mathbb{K})$ parallèlement à $\mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})$, qui sont supplémentaires, de dimensions $\frac{n(n + 1)}{2}$ et $\frac{n(n - 1)}{2}$ (proposition 7 du chapitre 16). Le calcul du déterminant d'une symétrie, fait dans le cours, donne $(-1)^{\dim \mathcal{A}_{n}(\mathbb{K})}$. On peut le voir aussi sur la base ordonnée $(E_{11}, \dots, E_{nn})$ suivie des couples $(E_{ij}, E_{ji})$ pour $i < j$ : la matrice de $T$ est diagonale par blocs, avec un bloc $I_{n}$ et $\frac{n(n - 1)}{2}$ blocs $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, de déterminant $-1$. $$\boxed{\det T = (-1)^{\frac{n(n - 1)}{2}}}$$

Multiplication à gauche. On range la base colonne par colonne : $$(E_{11}, \dots, E_{n1}, \ E_{12}, \dots, E_{n2}, \ \dots, \ E_{1n}, \dots, E_{nn}).$$ La $j$-ième colonne de $MA$ est $M$ fois la $j$-ième colonne de $A$ ; en coordonnées, $ME_{kj} = \sum_{i}m_{ik}E_{ij}$. La matrice de $L_{M}$ est donc diagonale par blocs, avec $n$ blocs égaux à $M$, et la proposition 11 (ii), appliquée $n - 1$ fois, donne $$\boxed{\det L_{M} = (\det M)^{n}}$$

Multiplication à droite. On range cette fois la base ligne par ligne : $(E_{11}, \dots, E_{1n}, E_{21}, \dots, E_{2n}, \dots)$. La $i$-ième ligne de $AM$ est la $i$-ième ligne de $A$ multipliée par $M$, et $E_{ik}M = \sum_{j}m_{kj}E_{ij}$. Dans le bloc associé à la ligne $i$, la colonne des coordonnées de $E_{ik}M$ est la $k$-ième ligne de $M$ : ce bloc est ${M}^{T}$. Par le théorème 6 (iv), $$\boxed{\det R_{M} = (\det{M}^{T})^{n} = (\det M)^{n}}$$ On peut aussi écrire $R_{M} = T \circ L_{{M}^{T}} \circ T$, puisque ${({M}^{T}\,{A}^{T})}^{T} = AM$, et conclure par le théorème 5 (ii), avec $(\det T)^{2} = 1$.

Piège. L'erreur la plus répandue est de répondre $\det M$ : l'endomorphisme $L_{M}$ agit sur un espace de dimension $n^{2}$, et $M$ y apparaît $n$ fois. Pour $M = \lambda I_{n}$, on trouve $L_{M} = \lambda\,\mathrm{id}$, de déterminant $\lambda^{n^{2}} = (\lambda^{n})^{n}$. ✓