Exercice 31

1. L'image de $AB$ est contenue dans celle de $A$, donc $\mathrm{rg}(AB) \leqslant \mathrm{rg} A \leqslant p < n$ (chapitre 16). La matrice carrée $AB$ n'est pas de rang $n$ : elle n'est pas inversible, et le théorème 6 (ii) conclut. $$\boxed{p < n \implies \det(AB) = 0}$$

2. Par la proposition 2 du chapitre 16, la $j$-ième colonne de $AB$ est $\sum_{k = 1}^{p}b_{kj}A_{k}$. On note $\det$ le déterminant de deux colonnes de $\mathbb{K}^{2}$ (proposition 9 (i)), bilinéaire alterné. En développant par bilinéarité, $$\det(AB) = \det\Big(\sum_{k = 1}^{p}b_{k1}A_{k}, \ \sum_{\ell = 1}^{p}b_{\ell 2}A_{\ell}\Big) = \sum_{k = 1}^{p}\sum_{\ell = 1}^{p}b_{k1}b_{\ell 2}\det(A_{k}, A_{\ell}).$$ Les termes tels que $k = \ell$ sont nuls, puisque la forme est alternée. On regroupe les termes d'indices $(i, j)$ et $(j, i)$, pour $i < j$, à l'aide de l'antisymétrie $\det(A_{j}, A_{i}) = -\det(A_{i}, A_{j})$ : $$b_{i1}b_{j2}\det(A_{i}, A_{j}) + b_{j1}b_{i2}\det(A_{j}, A_{i}) = (b_{i1}b_{j2} - b_{j1}b_{i2})\det(A_{i}, A_{j}) = \det\big(B_{(i, j)}\big)\det\big(A^{(i, j)}\big).$$

3. On applique la question 2 à la matrice $A \in \mathcal{M}_{2,p}(\mathbb{K})$ de lignes $(a_{1}, \dots, a_{p})$ et $(b_{1}, \dots, b_{p})$, et à $B = {A}^{T}$. Le produit vaut $$A{A}^{T} = \begin{pmatrix} \sum_{k}a_{k}^{2} & \sum_{k}a_{k}b_{k} \\ \sum_{k}a_{k}b_{k} & \sum_{k}b_{k}^{2} \end{pmatrix},$$ dont le déterminant est le membre de gauche de l'identité. D'autre part, $B_{(i, j)}$ est la transposée de $A^{(i, j)}$, de sorte que $\det\big(A^{(i, j)}\big)\det\big(B_{(i, j)}\big) = (a_{i}b_{j} - a_{j}b_{i})^{2}$. $$\boxed{\Big(\sum_{k = 1}^{p}a_{k}^{2}\Big)\Big(\sum_{k = 1}^{p}b_{k}^{2}\Big) - \Big(\sum_{k = 1}^{p}a_{k}b_{k}\Big)^{2} = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant p}(a_{i}b_{j} - a_{j}b_{i})^{2}}$$ Le membre de droite est positif : on obtient au passage l'inégalité $\big(\sum a_{k}b_{k}\big)^{2} \leqslant \big(\sum a_{k}^{2}\big)\big(\sum b_{k}^{2}\big)$, que l'on retrouvera avec les produits scalaires sous le nom d'inégalité de Cauchy--Schwarz.

4. Pour $p = 2$, l'identité s'écrit $$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) = (a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2})^{2} + (a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})^{2},$$ et, si les $a_{k}$ et les $b_{k}$ sont entiers, les deux nombres élevés au carré à droite sont entiers. Avec $5 = 1^{2} + 2^{2}$ et $13 = 2^{2} + 3^{2}$, on obtient $(1 \times 2 + 2 \times 3)^{2} + (1 \times 3 - 2 \times 2)^{2} = 8^{2} + 1^{2}$ ; avec $13 = 3^{2} + 2^{2}$, on obtient $(1 \times 3 + 2 \times 2)^{2} + (1 \times 2 - 2 \times 3)^{2} = 7^{2} + 4^{2}$. $$\boxed{65 = 8^{2} + 1^{2} = 7^{2} + 4^{2}}$$ À retenir. La question 2 est le cas $n = 2$ de la formule de Binet--Cauchy, qui exprime le déterminant d'un produit de matrices rectangulaires à l'aide des mineurs maximaux. Pour $p < n$, la question 1 dit que la somme est vide.