Exercice 12

1. Soit $\tau = (a\ b)$ une transposition. Il existe une permutation $\rho$ telle que $\rho(1) = a$ et $\rho(2) = b$ : on complète par une bijection quelconque de $[\![3\,;n]\!]$ sur $[\![1\,;n]\!] \setminus \{a, b\}$, ces deux ensembles ayant $n - 2$ éléments. Par l'exercice 8, $\tau = \rho(1\ 2)\rho^{-1}$, et comme $\Phi$ est un morphisme à valeurs dans le groupe commutatif $\mathbb{C}^{*}$, $$\Phi(\tau) = \Phi(\rho)\,\Phi\big((1\ 2)\big)\,\Phi(\rho)^{-1} = \Phi\big((1\ 2)\big).$$

2. Le calcul de la question 1 n'a pas utilisé l'hypothèse $\Phi\big((1\ 2)\big) = -1$ : toutes les transpositions ont la même image $\lambda = \Phi\big((1\ 2)\big)$. Comme $(1\ 2)^{2} = \mathrm{id}$, on a $\lambda^{2} = \Phi(\mathrm{id}) = 1$ (proposition 10 du chapitre 11), donc $\lambda \in \{-1, 1\}$. Soit $\sigma = \tau_{1}\cdots\tau_{k}$ une écriture de $\sigma$ comme produit de transpositions (proposition 3) ; alors $\Phi(\sigma) = \lambda^{k}$. Si $\lambda = 1$, $\Phi$ est constant égal à $1$ ; si $\lambda = -1$, $\Phi(\sigma) = (-1)^{k} = \varepsilon(\sigma)$ par la proposition 5 (i). Réciproquement, ces deux applications sont des morphismes, la seconde par le théorème 2. $$\boxed{\text{les morphismes de } \mathfrak{S}_{n} \text{ dans } \mathbb{C}^{*} \text{ sont } \sigma \mapsto 1 \text{ et } \sigma \mapsto \varepsilon(\sigma)}$$ À retenir. Un morphisme vers un groupe commutatif prend la même valeur sur deux permutations conjuguées, et toutes les transpositions sont conjuguées entre elles. Bien que $\mathbb{C}^{*}$ soit très grand, $\mathfrak{S}_{n}$ n'y a que deux images possibles, $\{1\}$ et $\{-1, 1\}$ : c'est une autre façon de voir le point (iii) du théorème 2.