Exercice 11

1. On lit les indices modulo $p$ : $c(a_{i}) = a_{i + 1}$, donc $c^{2}(a_{i}) = a_{i + 2}$. Si $p$ est impair, la suite $a_{1}$, $a_{3}$, …, $a_{p}$, $a_{p + 2} = a_{2}$, $a_{4}$, …, $a_{p - 1}$, puis $a_{p + 1} = a_{1}$, parcourt tous les $a_{i}$ avant de revenir à $a_{1}$. Si $p$ est pair, les indices impairs et les indices pairs forment deux orbites séparées. $$\boxed{p \text{ impair} : \ c^{2} = (a_{1}\ a_{3}\ \cdots\ a_{p}\ a_{2}\ a_{4}\ \cdots\ a_{p - 1}) \qquad p \text{ pair} : \ c^{2} = (a_{1}\ a_{3}\ \cdots\ a_{p - 1})(a_{2}\ a_{4}\ \cdots\ a_{p})}$$ Pour $p$ impair, $c^{2}$ est donc un cycle de longueur $p$ ; pour $p$ pair, c'est le produit de deux cycles disjoints de longueur $\frac{p}{2}$, et l'identité si $p = 2$.

2. Si $p$ est impair, l'entier $m = \frac{p + 1}{2}$ vérifie $(c^{m})^{2} = c^{p + 1} = c^{p}c = c$, puisque $c^{p} = \mathrm{id}$. Pour la seconde permutation, la question 1 appliquée au $4$-cycle $(1\ 3\ 2\ 4)$, avec $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) = (1, 3, 2, 4)$, donne $(a_{1}\ a_{3})(a_{2}\ a_{4})$. $$\boxed{c = \big(c^{(p + 1)/2}\big)^{2} \ \text{ pour } p \text{ impair}, \qquad (1\ 2)(3\ 4) = (1\ 3\ 2\ 4)^{2}}$$

3. Supposons $f^{2} = \tau$, avec $\tau$ une transposition. Alors $f \neq \mathrm{id}$ ; soit $f = c_{1}\cdots c_{r}$ sa décomposition, où $c_{i}$ est de longueur $p_{i}$. Les $c_{i}$ commutent, donc $f^{2} = c_{1}^{2}\cdots c_{r}^{2}$. Par la question 1, chaque $c_{i}^{2}$ est un cycle de longueur impaire $p_{i}$, ou le produit de deux cycles disjoints de même longueur $\frac{p_{i}}{2}$, ou l'identité ; ces cycles ont leurs supports dans celui de $c_{i}$, donc sont tous à supports disjoints. Par l'unicité du théorème 1, on obtient ainsi la décomposition de $f^{2}$, dans laquelle les cycles de longueur paire vont par paires de même longueur. Or $\tau$ a un seul cycle, de longueur paire $2$ : c'est impossible. $$\boxed{\text{une transposition n'est pas le carré d'une permutation}}$$ La signature donne une preuve plus courte : $\varepsilon(f^{2}) = \varepsilon(f)^{2} = 1$, alors que $\varepsilon(\tau) = -1$.

4. D'après l'exercice 3, $\sigma$ et $\sigma'$ sont toutes deux impaires. Or un carré est toujours pair, comme on vient de le voir. $$\boxed{f^{2} = \sigma \text{ et } f^{2} = \sigma' \text{ n'ont pas de solution}}$$ Le critère de la question 3 le confirme : $\sigma = (1\ 3\ 6\ 2\ 5)(4\ 7)$ a un seul cycle de longueur paire, et $\sigma'$ est un $6$-cycle isolé.

À retenir. La signature ne fournit qu'une condition nécessaire : $(1\ 2\ 3\ 4)(5\ 6)$ est paire, mais n'est pas un carré, car ses deux cycles de longueur paire ont des longueurs différentes. Le critère des cycles est en revanche une condition nécessaire et suffisante : deux cycles disjoints de même longueur $m$ s'écrivent $(a_{1}\ \cdots\ a_{m})(b_{1}\ \cdots\ b_{m}) = (a_{1}\ b_{1}\ a_{2}\ b_{2}\ \cdots\ a_{m}\ b_{m})^{2}$ par la question 1, les cycles de longueur impaire sont des carrés par la question 2, et les racines ainsi obtenues, à supports disjoints, commutent.