Exercice 10

1. L'ensemble $\Gamma_{\rho}$ contient $\mathrm{id}$. Si $\sigma' \in \Gamma_{\rho}$, en multipliant $\rho\sigma' = \sigma'\rho$ à gauche et à droite par $\sigma'^{-1}$, on obtient $\sigma'^{-1}\rho = \rho\sigma'^{-1}$. Si de plus $\sigma \in \Gamma_{\rho}$, alors $$\rho\sigma\sigma'^{-1} = \sigma\rho\sigma'^{-1} = \sigma\sigma'^{-1}\rho.$$ Par la proposition 7 du chapitre 11, $\Gamma_{\rho}$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{n}$.

2. La condition $\sigma\rho = \rho\sigma$ s'écrit $\sigma\rho\sigma^{-1} = \rho$, soit, par l'exercice 8, $\big(\sigma(1)\ \ \sigma(2)\ \ \sigma(3)\big) = (1\ 2\ 3)$. Ces deux cycles ont alors le même support, et l'image de $\sigma(1)$ par $(1\ 2\ 3)$ doit être $\sigma(2)$, puis celle de $\sigma(2)$ doit être $\sigma(3)$ : on peut choisir $\sigma(1) \in \{1, 2, 3\}$ librement, et $\sigma(2)$, $\sigma(3)$ en découlent. La restriction de $\sigma$ à $\{1, 2, 3\}$ est donc celle de $\mathrm{id}$, de $\rho$ ou de $\rho^{2}$. Par bijectivité, $\sigma$ envoie alors $\{4, 5\}$ sur lui-même, de deux façons possibles. $$\boxed{\Gamma_{\rho} = \{\mathrm{id}, \ (1\ 2\ 3), \ (1\ 3\ 2), \ (4\ 5), \ (1\ 2\ 3)(4\ 5), \ (1\ 3\ 2)(4\ 5)\}, \quad 6 \text{ éléments}}$$ Posons $\theta = (1\ 2\ 3)(4\ 5)$. Ses deux cycles commutent, donc $\theta^{k} = \rho^{k}(4\ 5)^{k}$, où $\rho^{k}$ ne dépend que du reste de $k$ modulo $3$ et $(4\ 5)^{k}$ du reste modulo $2$. On obtient successivement $$\theta^{0} = \mathrm{id}, \quad \theta = (1\ 2\ 3)(4\ 5), \quad \theta^{2} = (1\ 3\ 2), \quad \theta^{3} = (4\ 5), \quad \theta^{4} = (1\ 2\ 3), \quad \theta^{5} = (1\ 3\ 2)(4\ 5).$$

3. Par l'exercice 8, appliqué à chacun des deux cycles, $$\sigma\rho\sigma^{-1} = \sigma(1\ 2\ 3)\sigma^{-1}\,\sigma(4\ 5\ 6)\sigma^{-1} = \big(\sigma(1)\ \ \sigma(2)\ \ \sigma(3)\big)\big(\sigma(4)\ \ \sigma(5)\ \ \sigma(6)\big),$$ produit de deux $3$-cycles à supports disjoints. Par l'unicité de la décomposition (théorème 1), il est égal à $\rho$ si et seulement si ses deux cycles sont $(1\ 2\ 3)$ et $(4\ 5\ 6)$, dans un ordre ou dans l'autre. Deux cas se présentent.

• Si $\big(\sigma(1)\ \sigma(2)\ \sigma(3)\big) = (1\ 2\ 3)$ et $\big(\sigma(4)\ \sigma(5)\ \sigma(6)\big) = (4\ 5\ 6)$ : comme à la question 2, il y a $3$ choix pour $\sigma(1)$ et $3$ choix pour $\sigma(4)$, soit $9$ permutations, qui stabilisent chacun des deux cycles.

• Si $\big(\sigma(1)\ \sigma(2)\ \sigma(3)\big) = (4\ 5\ 6)$ et $\big(\sigma(4)\ \sigma(5)\ \sigma(6)\big) = (1\ 2\ 3)$ : de même $9$ permutations, qui échangent les deux cycles, comme $(1\ 4)(2\ 5)(3\ 6)$.

$$\boxed{\operatorname{card}\Gamma_{\rho} = 9 + 9 = 18}$$ Un dénombrement exhaustif des $720$ éléments de $\mathfrak{S}_{6}$ confirme ce résultat ✓.

À retenir. Pour déterminer les permutations qui commutent avec $\rho$, on traduit $\sigma\rho\sigma^{-1} = \rho$ par l'exercice 8 : $\sigma$ doit envoyer les cycles de $\rho$ sur des cycles de $\rho$ de même longueur. L'exercice 15 traitera de même le cas d'un cycle de longueur $n$.