Exercice 13

Pour $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$, on note $\tilde{\sigma}$ la permutation de $[\![1\,;n + 2]\!]$ qui coïncide avec $\sigma$ sur $[\![1\,;n]\!]$ et fixe $n + 1$ et $n + 2$, et $t = (n + 1\ \ n + 2)$. On pose $$\boxed{\varphi(\sigma) = \tilde{\sigma} \ \text{ si } \varepsilon(\sigma) = 1, \qquad \varphi(\sigma) = \tilde{\sigma}\,t \ \text{ si } \varepsilon(\sigma) = -1}$$ ce qui s'écrit aussi $\varphi(\sigma) = \tilde{\sigma}t^{k(\sigma)}$, où $k(\sigma) \in \{0, 1\}$ est défini par $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{k(\sigma)}$.

Les valeurs sont paires. Les inversions de $\tilde{\sigma}$ sont celles de $\sigma$, car un couple $(i, j)$ avec $j \geqslant n + 1$ n'en est jamais une, puisque $\tilde{\sigma}(i) \leqslant \tilde{\sigma}(j)$ dans ce cas. Ainsi $\varepsilon(\tilde{\sigma}) = \varepsilon(\sigma)$, et $\varepsilon(\varphi(\sigma)) = \varepsilon(\sigma)(-1)^{k(\sigma)} = 1$.

C'est un morphisme. On a $\widetilde{\sigma\sigma'} = \tilde{\sigma}\tilde{\sigma}'$, ce qui se vérifie sur $[\![1\,;n]\!]$ et sur $\{n + 1, n + 2\}$ séparément. Le théorème 2 donne $(-1)^{k(\sigma\sigma')} = (-1)^{k(\sigma) + k(\sigma')}$, et comme $t^{2} = \mathrm{id}$, on en déduit $t^{k(\sigma\sigma')} = t^{k(\sigma)}t^{k(\sigma')}$. Enfin $t$ commute avec $\tilde{\sigma}'$, leurs supports étant disjoints (proposition 2) : $$\varphi(\sigma)\varphi(\sigma') = \tilde{\sigma}\,t^{k(\sigma)}\,\tilde{\sigma}'\,t^{k(\sigma')} = \tilde{\sigma}\tilde{\sigma}'\,t^{k(\sigma)}t^{k(\sigma')} = \widetilde{\sigma\sigma'}\,t^{k(\sigma\sigma')} = \varphi(\sigma\sigma').$$

Il est injectif. La permutation $t$ fixe les éléments de $[\![1\,;n]\!]$, donc la restriction de $\varphi(\sigma)$ à $[\![1\,;n]\!]$ est $\sigma$ : on retrouve $\sigma$ à partir de $\varphi(\sigma)$. $$\boxed{\varphi : \mathfrak{S}_{n} \to \mathfrak{A}_{n + 2} \text{ est un morphisme de groupes injectif}}$$ À retenir. Les deux éléments ajoutés servent de « réserve de signe » : la transposition $t$ corrige la parité sans toucher à l'action sur $[\![1\,;n]\!]$. Un seul élément supplémentaire ne suffirait pas, puisqu'il n'y aurait alors aucune transposition disponible hors de $[\![1\,;n]\!]$.