Exercice 59

1. Par définition, $\det A = \sum_{\sigma} \varepsilon(\sigma)\prod_{j} a_{\sigma(j)j}$. Si $\sigma$ a un point fixe $j$, le facteur $a_{jj}$ est nul ; sinon, tous les facteurs valent $\pm 1$, et le terme vaut $\pm 1$. Donc $\det A$ est un entier, somme de $d$ termes égaux à $\pm 1$, où $d$ est le nombre de permutations sans point fixe de $\mathfrak{S}_{2n}$. Comme $-1 \equiv 1 \pmod 2$, cet entier a la parité de $d$. Le même raisonnement s'applique à $J - I_{2n}$, qui est une matrice du même type. $$\boxed{\det A \equiv d \equiv \det(J - I_{2n}) \pmod 2}$$

2. On applique la question 4 de l'exercice 40, avec $a = 0$, $b = 1$ et l'ordre $2n$ : $$\det(J - I_{2n}) = \big(0 + (2n - 1)\big)(0 - 1)^{2n - 1}, \qquad \text{soit} \qquad \boxed{\det(J - I_{2n}) = -(2n - 1)}$$ Ce nombre est impair, donc $\det A$ l'est aussi par la question 1 : il n'est pas nul, et $A$ est inversible.

3. Fixons $i$. Lorsqu'on retire le caillou $i$, on répartit les $2n$ autres en deux tas $T_{1}$ et $T_{2}$ de $n$ cailloux, de même masse. On pose $\varepsilon_{ii} = 0$, $\varepsilon_{ij} = 1$ si $j \in T_{1}$ et $\varepsilon_{ij} = -1$ si $j \in T_{2}$. L'égalité des masses s'écrit $$\sum_{j \in T_{1}} m_{j} - \sum_{j \in T_{2}} m_{j} = \sum_{j = 1}^{2n + 1} \varepsilon_{ij}m_{j} = 0.$$

4. La matrice obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de $M$ est du type de la question 1, d'ordre $2n$ : elle est inversible. Par le théorème 7 du chapitre 16, $\mathrm{rg} M \geqslant 2n$. Par ailleurs, chaque ligne de $M$ contient $n$ coefficients égaux à $1$ et $n$ égaux à $-1$, puisque les deux tas ont $n$ cailloux : la colonne $U$ dont tous les coefficients valent $1$ vérifie $MU = 0$. Ainsi $\mathrm{Ker}\, M \neq \{0\}$, et $\mathrm{rg} M \leqslant 2n$. $$\boxed{\mathrm{rg} M = 2n}$$ Par le théorème 9 du chapitre 16, $\mathrm{Ker}\, M$ est de dimension $(2n + 1) - 2n = 1$ : c'est la droite engendrée par $U$. Comme $X \in \mathrm{Ker}\, M$, il existe $\lambda$ tel que $X = \lambda U$. $$\boxed{m_{1} = m_{2} = \cdots = m_{2n + 1}}$$ À retenir. Deux idées se combinent : une information de parité suffit à prouver qu'un déterminant n'est pas nul, et le rang transforme cette information en la description complète du noyau. On n'a jamais eu besoin de connaître les répartitions en tas.