Exercice 60

1. La question 3 de l'exercice 40, appliquée avec $\alpha_{i} = r_{i}$ et $a = b = 1$, donne le déterminant de cette matrice : $$\Delta = \prod_{i = 1}^{n}(r_{i} - 1) + \sum_{i = 1}^{n}\prod_{j \neq i}(r_{j} - 1).$$ Tous les facteurs $r_{j} - 1$ sont strictement positifs : $\Delta > 0$. $$\boxed{\Delta > 0, \quad \text{la matrice est inversible}}$$

2. Le coefficient d'indice $(i, j)$ de $N{N}^{T}$ est $\sum_{k = 1}^{m} N_{ik}N_{jk}$ : c'est le nombre de droites $D_{k}$ qui contiennent à la fois $P_{i}$ et $P_{j}$. Pour $i = j$, c'est le nombre $r_{i}$ de droites $D_{k}$ qui passent par $P_{i}$. Pour $i \neq j$, les points distincts $P_{i}$ et $P_{j}$ appartiennent à une unique droite, qui est déterminée par les points puisqu'elle en contient deux : ce coefficient vaut $1$. $$\boxed{\big(N{N}^{T}\big)_{ii} = r_{i} = \text{nombre de droites } D_{k} \text{ passant par } P_{i}, \qquad \big(N{N}^{T}\big)_{ij} = 1 \ (i \neq j)}$$

3. Soit $i$ fixé, et $j \neq i$, qui existe car $n \geqslant 3$. La droite $(P_{i}P_{j})$ est l'une des $D_{k}$. Les points n'étant pas tous alignés, il existe $P_{\ell}$ hors de cette droite, et la droite $(P_{i}P_{\ell})$ est une autre des $D_{k}$, distincte de la première, qui passe aussi par $P_{i}$. $$\boxed{r_{i} \geqslant 2 \quad \text{pour tout } i}$$

4. Par les questions 1 à 3, $N{N}^{T}$ est une matrice d'ordre $n$ inversible, de rang $n$. Le rang d'un produit est au plus le rang de chaque facteur (proposition 7 du chapitre 15), et le rang de $N \in \mathcal{M}_{n, m}(\mathbb{R})$ est au plus son nombre $m$ de colonnes : $$n = \mathrm{rg}\big(N{N}^{T}\big) \leqslant \mathrm{rg} N \leqslant m. \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{m \geqslant n}$$ L'égalité est atteinte avec $n - 1$ points $P_{1}$, …, $P_{n - 1}$ sur une droite $D$ et un point $P_{n}$ hors de $D$. Les droites déterminées sont $D$ et les $n - 1$ droites $(P_{n}P_{i})$, qui sont distinctes : une droite qui contiendrait $P_{n}$ et deux points de $D$ serait $D$. On a bien $m = 1 + (n - 1) = n$. Pour $n = 3$, ce sont les trois côtés d'un triangle.

À retenir. Le théorème de De Bruijn et Erdős est un énoncé de géométrie élémentaire, démontré ici par un argument de rang : la matrice $N$ « contient » $n$ dimensions, et il lui faut donc au moins $n$ colonnes. Une preuve purement géométrique existe, mais elle est nettement plus délicate.