Exercice 61

1. L'égalité $B = PAP^{-1}$ équivaut à $BP = PA$, soit $BR + \mathrm{i} BS = RA + \mathrm{i} SA$. Les matrices $A$, $B$, $R$, $S$ étant réelles, les matrices $BR$, $BS$, $RA$, $SA$ le sont aussi, et l'on identifie parties réelles et parties imaginaires, coefficient par coefficient. $$\boxed{BR = RA \qquad \text{et} \qquad BS = SA}$$

2. Les coefficients de $R + tS$ sont des polynômes de degré au plus $1$ en $t$. Par la formule qui définit le déterminant, $\det(R + tS)$ est une somme de produits de tels coefficients : c'est une fonction polynomiale de $t$, de degré au plus $n$, associée à un polynôme $\Pi \in \mathbb{C}[X]$. Pour $t = \mathrm{i}$, on trouve $\Pi(\mathrm{i}) = \det(R + \mathrm{i} S) = \det P \neq 0$, puisque $P$ est inversible. $$\boxed{t \mapsto \det(R + tS) \text{ est polynomiale, et } \Pi(\mathrm{i}) = \det P \neq 0}$$

3. Le polynôme $\Pi$ n'est pas nul : il a au plus $n$ racines (théorème 3 du chapitre 13). Comme $\mathbb{R}$ est infini, il existe un réel $t_{0}$ qui n'en est pas une. La matrice $Q = R + t_{0}S$ est réelle et $\det Q \neq 0$ : $Q \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})$. Par la question 1, $BQ = BR + t_{0}BS = RA + t_{0}SA = QA$, et donc $B = QAQ^{-1}$. $$\boxed{Q = R + t_{0}S \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}), \quad B = QAQ^{-1}}$$ Piège. Ni $R$ ni $S$ ne sont inversibles en général, de sorte que les égalités $BR = RA$ et $BS = SA$ ne permettent pas de conclure directement. Par exemple, pour $A = B = I_{2}$ et $P = \mathrm{i} I_{2}$, on a $R = 0$. C'est le passage par le polynôme $\det(R + tS)$, non nul car il ne s'annule pas en $\mathrm{i}$, qui fournit une combinaison réelle inversible.

Les quatre derniers exercices sont des problèmes en autonomie ; le corrigé commence par l'idée directrice.