Exercice 47

Le coefficient d'indice $(i, j)$ de $A$ est $a_{\overline{j - i}}$, où $\overline{k}$ désigne le reste de la division euclidienne de $k$ par $n$. On utilise $\omega^{n} = 1$ : $\omega^{k}$ ne dépend que de ce reste.

1. Le coefficient d'indice $(i, j)$ de $AM$ vaut $\sum_{k = 1}^{n}a_{\overline{k - i}}\,\omega^{(k - 1)(j - 1)}$. Lorsque $k$ parcourt $[\![1\,;n]\!]$, $\ell = \overline{k - i}$ parcourt $[\![0\,;n - 1]\!]$, et $k - 1 \equiv \ell + i - 1 \pmod n$, donc $$(AM)_{ij} = \sum_{\ell = 0}^{n - 1}a_{\ell}\,\omega^{(\ell + i - 1)(j - 1)} = \omega^{(i - 1)(j - 1)}\sum_{\ell = 0}^{n - 1}a_{\ell}\big(\omega^{j - 1}\big)^{\ell} = P(\omega^{j - 1})\,M_{ij}.$$

2. La matrice $M = \big((\omega^{i - 1})^{j - 1}\big)$ est la matrice de Vandermonde de $1$, $\omega$, …, $\omega^{n - 1}$, qui sont deux à deux distincts (chapitre 4). Par la proposition 12, $\det M \neq 0$. En prenant le déterminant de l'égalité de la question 1, on obtient $\det(A)\det(M) = \det(M)\prod_{k}P(\omega^{k})$, et l'on simplifie par $\det M$. $$\boxed{\det A = \prod_{k = 0}^{n - 1}P(\omega^{k})}$$

3. Pour $n = 3$, avec $(a_{0}, a_{1}, a_{2}) = (a, b, c)$, la règle de Sarrus donne $$\begin{vmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{vmatrix} = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc,$$ et, comme $\omega = j$, $j^{2} = \overline{j}$ et $j^{4} = j$, on a $P(1) = a + b + c$, $P(j) = a + bj + cj^{2}$, $P(j^{2}) = a + bj^{2} + cj$. $$\boxed{a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a + b + c)(a + bj + cj^{2})(a + bj^{2} + cj)}$$ À retenir. Les colonnes de $M$ sont des vecteurs que $A$ se contente de multiplier par un scalaire : dans la base qu'elles forment, $A$ devient diagonale. Toutes les matrices circulantes d'ordre $n$ sont ainsi diagonales dans une même base, ce qui explique aussi qu'elles commutent entre elles.