Exercice 48

1. On note $D_{n}$ le déterminant, et l'on raisonne par récurrence sur $n$. Pour $n = 1$, $D_{1} = \frac{1}{a_{1} + b_{1}}$, et la formule est vraie avec des produits vides au numérateur. Soit $n \geqslant 2$.

Colonnes. L'opération $C_{j} \leftarrow C_{j} - C_{n}$, pour $j \leqslant n - 1$, remplace le coefficient $(i, j)$ par $$\frac{1}{a_{i} + b_{j}} - \frac{1}{a_{i} + b_{n}} = \frac{b_{n} - b_{j}}{(a_{i} + b_{j})(a_{i} + b_{n})}.$$ On factorise $b_{n} - b_{j}$ dans la colonne $j$, pour $j \leqslant n - 1$, et $\frac{1}{a_{i} + b_{n}}$ dans la ligne $i$, pour tout $i$ : il reste la matrice $E$ de coefficients $\frac{1}{a_{i} + b_{j}}$ pour $j \leqslant n - 1$ et $1$ dans la dernière colonne.

Lignes. L'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{n}$, pour $i \leqslant n - 1$, annule le dernier coefficient de la ligne $i$ et remplace les autres par $$\frac{1}{a_{i} + b_{j}} - \frac{1}{a_{n} + b_{j}} = \frac{a_{n} - a_{i}}{(a_{i} + b_{j})(a_{n} + b_{j})}.$$ On factorise $a_{n} - a_{i}$ dans la ligne $i$, pour $i \leqslant n - 1$, et $\frac{1}{a_{n} + b_{j}}$ dans la colonne $j$, pour $j \leqslant n - 1$. La matrice restante est triangulaire inférieure par blocs, de blocs diagonaux $\big(\frac{1}{a_{i} + b_{j}}\big)_{i, j \leqslant n - 1}$ et $(1)$. Par la proposition 11 (ii), via la transposition, $$D_{n} = \frac{\prod_{k = 1}^{n - 1}(a_{n} - a_{k})(b_{n} - b_{k})}{\prod_{i = 1}^{n}(a_{i} + b_{n}) \prod_{j = 1}^{n - 1}(a_{n} + b_{j})}\,D_{n - 1}.$$ Le dénominateur contient une fois chaque facteur $a_{i} + b_{j}$ tel que $i = n$ ou $j = n$, et le numérateur chaque facteur $(a_{j} - a_{i})(b_{j} - b_{i})$ tel que $i < j = n$. Avec l'hypothèse de récurrence, on obtient $$\boxed{\det\Big(\frac{1}{a_{i} + b_{j}}\Big)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} = \frac{\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n}(a_{j} - a_{i})(b_{j} - b_{i})}{\prod_{1 \leqslant i, j \leqslant n}(a_{i} + b_{j})}}$$

2. On prend $a_{i} = i$ et $b_{j} = j - 1$ : alors $a_{i} + b_{j} = i + j - 1 \geqslant 1$, et les $a_{i}$, comme les $b_{j}$, sont deux à deux distincts. Le numérateur est non nul, donc le déterminant aussi, et le théorème 6 (ii) conclut. $$\boxed{\text{la matrice } \Big(\frac{1}{i + j - 1}\Big) \text{ est inversible, de déterminant strictement positif}}$$ On trouve par exemple $\frac{1}{12}$ pour $n = 2$ et $\frac{1}{2160}$ pour $n = 3$.

À retenir. La matrice $\big(\frac{1}{i + j - 1}\big)$ est la matrice de Hilbert. Son déterminant, inverse d'un entier, devient très vite minuscule ($\frac{1}{6\,048\,000}$ pour $n = 4$) : elle est inversible, mais un calcul numérique approché de son inverse est très instable.