Exercice 49

1. Pour $n = 4$, on compte les diviseurs communs : par exemple, $2$ et $4$ ont deux diviseurs communs, $1$ et $2$, et $4$ en a trois avec lui-même. La ligne $i$ de $L$ indique les diviseurs de $i$. $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

2. Le coefficient d'indice $(i, j)$ de $L{L}^{T}$ vaut $\sum_{k = 1}^{n}\ell_{ik}\ell_{jk}$. Le produit $\ell_{ik}\ell_{jk}$ vaut $1$ si $k$ divise à la fois $i$ et $j$, et $0$ sinon : la somme compte les diviseurs communs à $i$ et $j$ compris entre $1$ et $n$, c'est-à-dire tous, puisqu'un diviseur de $i$ est au plus $i \leqslant n$. $$\boxed{A = L{L}^{T}}$$

3. Si $k$ divise $i$, alors $k \leqslant i$ : la matrice $L$ est triangulaire inférieure, et ses coefficients diagonaux valent $1$, puisque $i$ divise $i$. Donc $\det L = 1$, et, par le théorème 6 (i) et (iv), $\det A = \det(L)\det({L}^{T}) = 1$. $$\boxed{\det A = 1}$$ Pour $n = 4$, on vérifie par la méthode du pivot sur la matrice $A$ ci-dessus : les opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} - L_{1}$, puis $L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{2}$, donnent une matrice triangulaire de diagonale $(1, 1, 1, 1)$. ✓

À retenir. La factorisation $A = L{L}^{T}$, avec $L$ triangulaire de diagonale $1$, rend le déterminant immédiat, alors que les coefficients de $A$ semblent n'avoir aucune structure. Par la proposition 13, on en déduit aussi que $A^{-1}$ est à coefficients entiers. C'est un résultat dû à H. J. S. Smith (1875).